Модель фон Неймана

В моделі фон Неймана розглядається скінченний набір виробничих процесів вигляду (a , b ), j = 1,…,m , де n-вимірний вектор a =(а , а ,…, а ) описує витрати, а n-вимірний вектор b =(b , b ,…, b ) описує випуск продукції при функціонуванні даного процесу з одиничною інтенсивністю. Виробничі процеси (a , b ) будемо називати базисними. Координати векторів a , b – невід’ємні: а , b ≥ 0, i = 1,…,n , j = 1, 2,…, m.

Введемо до розгляду прямокутні матриці А = (а ), В = (b ), А ≥ 0, В ≥ 0. Вектори a та b є стовпцями матриць А та В відповідно.

Кажуть, що технологію моделі задає пара невід’ємних матриць (А, В). Матрицю А називають матрицею витрат, а матрицю В – матрицею випуску.

На підставі базисних процесів побудуємо новий процес, в котрому витрати і випуск є лінійною комбінацією відповідних векторів a , b :

= (Ах, Вх) (1)

де вектор х = (х , х , … , х ), х ≥ 0, j = 1, 2, … , m називається вектором інтенсивностей. Будемо при цьому говорити, що j –й базисний процес (a , b ) приймає участь в процесі (Ах, Вх) з інтенсивністю х . Літерою С позначимо множину процесів

С = (2)

Модель Леонтьєва є частковим випадком моделі Неймана при n = m, В =І.

Опишемо динаміку моделі фон Неймана.

Припущення1. Модель Неймана лінійна

Через х будемо позначати вектор інтенсивностей, який описує функціонування моделей на проміжку [t-1, t]. Будемо розглядати Т періодів часу. В кожен із таких періодів [t-1, t] для виробництва продукції застосовується один із процесів множини С, він характеризується певним вибором вектора інтенсивностей x_t.

Припущення2. Модель Неймана є замкнутою

Це означає, що для виробництва в період [t, t+1] ми можемо витрачати лише продукцію вироблену в попередньому періоді [t-1, t]. Позаяк випуск в період [t-1, t] є Вх , а витрати в наступний період є Ах , то припущення про замкнутість набуває такого вигляду

Ах ≤ Вх , t = 1,2,…,Т (3)

Це є послідовність векторних нерівностей. При цьому природно вважати, що вектор Вх є вектором запасів, які є в нашому розпорядженні з початку досліджуваного періоду [1, Т].

Означення1. Послідовність векторів інтенсивностей , які задовольняють систему нерівностей (3) будемо називати планом або траекторією інтенсивностей.

Введемо в модель ще поняття цін на товари. Через позначимо ціну одиниці -го продукту в період [t-1,t] , а відповідний n-вимірний вектор цін через

Прибуток процесу ( за період [t-1,t] виражається як ( . При цьому ми вважаємо на початку періоду [t-1,t] ціну на сировину рівною , а випущену продукцію реалізуємо вже за цінами нового періоду

Припущення 3. Жоден з базисних процесів не дає додатного прибутку

тобто

Це припущення називається практикою нульового прибутку або практикою безпродуктовості виробництва. Це припущення дещо парадоксальне . Воно містить своєрідну вимогу щодо замкнутості моделі: із зростанням загального числа товарів грошова маса не збільшується.

Означення 2. Послідовність { векторів цін , які задовольняють систему нерівностей (4) будемо називати траєкторією цін.

Припущення 4. Загальна грошова маса не змінюється і весь час знаходиться в обігу тобто

Означення 3. Траекторія інтенсивностей { називається стаціонарною , якщо для деякого υ>0 , υ , тобто є геометричною прогресією із знаменником υ : .

Означення 4. Траекторія цін { називається стаціонарною , якщо для деякого µ> 0 маємо , тобто .

Підставимо вирази та в векторні нерівності (3) та (4) відповідно. Приходимо до таких тверджень :

1. Послідовність інтенсивностей буде стаціонарною тоді і тільки тоді , коли для числа υ>0 і початкового вектора справедлива нерівність

(7)