Элементы алгебры в теме «сотня»

fe- В теме «Сотня» продолжается, развивается и значительно р:обогащается работа, связанная с рассмотрением числовых вы- Выражений, равенств и неравенств, с решением уравнений. Систе- матически ведется подготовка_детей к осознанию идей перемен­енной величины, соответствия.

При изучении нумерации чисел в пределах 100, после озна- ■Екомления с дециметром и метром, наряду со сравнением отвлечен- ' ::^ных чисел дети учатся сравнивать и числа, выраженные в деци- Ц; метр ах и сантиметрах, в метрах и дециметрах. Например, для рсравнения предлагаются такие пары чисел: 5 дм 3 см и 5 дм 6 см, №5 дм и 5 см, 6 дм 2 см и 2 дм 6 см и т. п.

S&-" В период подготовки к решению, составных задач дети знако- Вмятся с числовыми выражениями, содержащими скобки, напр'н- |Г", мер, такого вида: 10 — (2 + 5), 4 + (8 — 3) и др." Возможность ' объяснения смысла таких выражений подготавливается" за счет 10. выполнявшихся ранее упражнений в сравнении двух выражений

» На уроке, посвященном ознакомлению с выражениями, со- держащими скобки, целесообразно начать с повторения извест- Й^ного детям: вспомнить названия знакомых выражений (сумма, г. разность), выполнить упражнения в сравнении двух выражений, ^ сопровождая их соответствующими пояснениями, наконец, пред- / дожить детям устно вычислить сумму чисел, например 5 и 2, а Щ затем предложить вычесть сумму чисел 5 и 2 из числа 10. Получив й5 ответ, учитель спросит детей, как они получили 3. После этого I можно предложить кому-либо из учеников записать на доске "рассмотренный пример. Если ученик запишет: 10 — 5 + 2, то_г ^ выполнив вычисления, дети убедятся, что это не тот при.мер, ко- торый был ими решен. Возникшее затруднение учитель сможет ликвидировать, объяснив, что в том случае, когда нужно выпол- jV; нить какое-то действие над выражением (суммой или разностью), ' - это выражение заключается в скобки. Необходимо показать, v как открываются и закрываются скобки. Детям помогает усвоить

? этот новый для них знак такой прием: соответствующее выражение I учитель окружает^ подчеркивая^ что вычесть нужно не одно число, а все это выражение. Затем поясняет^ что на строке тетради вся окружность не поместится, а потому оставляют только часть ее, и что соответствующие знаки и называются скобками. После такого объяснения ученики уже редко в дальнейшем оши­баются в написании скобок (в противном случае дети нередко воспроизводят скобки в зеркальном изображении)^

Для закрепления под руководством учителя выполняются аналогичные упражнения. Чтобы помочь детям правильно читать выражение и находить его значение, учитель может -поставить такие вопросы: какое действие надо выполнить над числами, за­писанными в скобках? Следовательно, что записано в скобках? Посмотрите на другой анак действия и скажите, что нужно сде­лать с этой суммой (разностью). Вычислите сумму (разность) чисел. Прибавьте ее к числу (пли вычтите ее из числа) и назовите ответ. Устные пояснения полезно сопровождать записью. Напри­мер: 6 + (3 + 1) = 6 + 4 = 10. *

В связи с рассмотрением свойств действий и приемов вычис­лений уже в I классе дети знакомятся с ценочкой равенств впда: 34 + 20 = (30 + 4) + 20 = <30 + 20) + 4 = 50 + 4 = 54 (М. 1, с. 112) и др. Постепенно усложняется и структура выраже­ний, предлагаемых для сравнения (см.,, например, М. 1, упраж­нение 276, в котором для сравнения предлагаются выражения: (50 + 4) + 3 и 50 + 4 и др.);,

Во II класссе при повторении и обобщении пройденпого на первом году обучения вводятся термины «математичеыше вы­ражения» и заменяющий его более короткий — «выражения», а также «значение выражения».' Начиная с этого времени появля­ются такие формулировки в заданиях: «Запиши выражения и вычисли их значения», «Сравни выражения» и т. п.

При ознакомлении с различными способами сложения двух сумм, а затем и с различными способами вычитания суммы из суммы дети учатся читать, записывать, сравнивать числовые выражения еще более сложной структуры — вида:

(7 + 2) (3 + 8), (8 + 2) - (6 + 1) и т. п.

В это время соответствующие выражения читаются так: «К сум­ме чисел 7 и 2 прибавить сумму чисел 3 и 8»; «Из суммы чпсел«8 и 2 вычесть сумму чисел 6 и 1»,

Для составления подобных выражений на наборном полотне удобно иметь набор карточек, на которых записаны сумма или разность каких-либо чисел. Используя эти карточки вместе с обычными демонстрационными карточками с цифрами и знака­ми действий^ можно легко и быстро составлять самые разнооб­разные выражения более сложной структуры. Использование этих пособий позволяет наглядно показать детям, что компонен­том действия может быть не только одно число, но и выражение.

Полезны в этом отношении такие демонстрации: под диктовку ■учителя ученик записывает на доске. выражение «Сумма "чисел . 6 и 7». Затем учитель предлагает заменить в этом выражении v первоеслагаемое, иеиользуя карточки из другого набора (с за- ■ писанными на них простейшими выражениями). Ученик выни- мает, например, карточку, на которой записана сумма (4 -Ь 2), и вставляет ее вместо карточки с цифрой 6. Полученное выраже­ние читается: «К сумме чисел 4 и 2 прибавить число 7» (с такими выражениями дети уже многократно встречались в I классе). ^; Затем • следующий ученик заменяет второе слагаемое 7 новей карточкой, на которой записана, скажем, сумма (5 + 2). Полу- ^: ченное выражение читается, вычисляется его значение. Таким образом обеспечивается постепенность в усложении рассматри­ваемых числовых выражений.

Ознакомление с правилами порядка действий в выражениях без скобок, содержащих действии как одной, так и двух ступе­ней, является следующим шагом в расширении знакомства детей с числовыми выражениями различной структуры.

Соответствующие правила учитель вводит, объясняя, что до­говоренность о порядке выполнения арифметических действий в выражениях сложных видов, принятая в математике¹, позволяет упростить записи, которые иначе потребовали бы использова­ния большого числа скобок для указания того, какое действие выполняется первым, какое — вторым и т. п. Разъяснить соот­ветствующие правила — значит облегчить понимание учащимися содержащихся в них указании. Понимание это достигается за счет рассмотрения различных случаев применения изучаемых правил. Чтобы не вызвать каких-либо дополнительных трудно­стей, связанных с усвоением новых терминов, не следует даже ' употреблять довольно часто используемые понятия' «действия . первой ступени» (сложение и вычитание') и «действия второй сту­пени» (умножение и деление). Без таких терминов суть вводи­мых правил дети усваивают лучше.

Основное значение при обучении детей применению правил о порядке действий имеет целесообразный подбор упражнений. В основном он обеспечен тйми конкретными упражнениями, ко­торые даны в определенной системе в учебнике. Дополняя мате­риал учебника при проведении устных вычислений на уроках, учителю стоит обратить особое внимание на такие задания и упражнения, которые помогают подчеркнуть значение соблюде­ния правила порядка действий. Нанример, в предложенном вы­ражении расставить скобки так, чтобы значение его стало равно указанному числу, например: 36 : 4 + 5 • 2 = 8 или 12 + 6 i 2 + + 2 = 11, 24 —"12 : 4 + 2 = 23 и т. п.

Другое задание: расставить пропущенные знаки действий, скобки так, чтобы значение выражения стало равно указанному числу. Например:

12*6*3 = 6 12*6*3 = 30

Полезны также и такие пары примеров, которые иллюстри­руют различные случаи порядка действий: 4 + 6- 3 и 4 • 6 + 3, 16 : 2 + 5 • 3 и 16 Ч- 2 • 5 — 3 и т. п.

Соответствующие выражения в это время могут читаться так: <К 4 прибавить произведение'чисел 6 и 3», или «Сумма числа 4 и произведения чисел 6 и 3», или «Сумма, первое слагаемое кото­рой равно 4, а второе выражено произведением чисел 6 и 3» и т. п.

Чтение выражений более сложной структуры связано с опре­деленными трудностями для учащихся. Поэтому нужно позна­комить их с тем, как это должно делаться. Можно, например, дать такое пояснение. Выясним сначала, какое действие должно выполняться последним. Если это сложение, то Данное выражение можно назвать суммой и смотреть дальше, что представляют собой слагаемые этой суммы. Если последним действием является вьгчптаппе, то соответственно выражение представляет собой разность и остается_чвыяснить, что представляют собой уменьшае­мое и вычитаемое. .Каждый раз, когда один из компонентов пред­ставляет собой выражение, дается его название, например:

50 — 3-4

Выясняем, что последнее действие — вычитание. Можем ска­зать, что данное выражение — разность. Далее видим, что умень­шаемым является число 50, а вычитаемое выражено произведе­нием чисел 3 и 4 и т. п. Упражнения в таком чтении выражений, с одной стороны, важное условие правильного применения изу­ченных правил порядка действий, а с другой — подготовка к ре­шению уравнений более сложных видов, с которыми дети встре­чаются во II классе.

Принципиально новым шагом в работе над выражениями бу­дет ознакомление с выражениями, содержащими одпу-две пере­менные, обозначенные буквами латинского алфавита.

уже говорилось о том, что подготовка^ детей к ознакомлению с переменной и выражениями с перемен­ной начинается еще в теме «Десяток». В теме «Сотня» (в начале второго года обучения) они вводятся в явной форме.

Самое важное, что должно быть доведено до сознания детей на первом же уроке ознакомления с буквенными выражения­ми, — что буквой обозначено в них не какое-либо одно опреде­ленное (известное или неизвестное) число, а любое число_л и бук­вам в таких выражениях можно придавать различные числовые зпачения.

Показать это нужно как можно более наглядно, чтобы соот­ветствующая демонстрация запомнилась детям.

Начать можно с рассмотрения простой задачи, связанной с объединением двух множеств предметов: «На одной полке 3 кни­ги, а на другой — 5 книг. Сколько всего книг на этих полках?» [На верхней и нижней полках наборного полотна выставляются карточки с изображением кпиг.) Учитель спрашивает, что нужно ;делать, чтобы узнать, сколько всего книг на двух этих полках.

If-Детп отвечают, что для этого нужно сложить числа 3 и 5. На до- Шске выполняется запись:

Ц; . На I полке -На II полке Всего на двух

полках

fe 3 кн. 5 кн. (3 + 5) кн.

■ ' Затем в предложенной задаче меняются числовые данные. На­пример: «На I полке — 6 книг, на второй — 4 книги». Снова ста- Щвится тот же вопрос, и соответствующие данные записываются Г* па доске во второй строчке. Можно решить еще одну-две анало- ргичные задачи, после чего поставить вопрос: «Вообще, если мы Шанаем, сколько книг на одной полке и сколько на другой, то как f мы узнаем, сколько всего книг на этих двух полках?» Дети отве- Щ чают, что нужно сложить число книг на I полке и число книг на у II полке. Можно еще раз уточнить, что это верно для любого чис- S ла книг, сколько бы их ни было на полках. После этого учитель / предлагает обозначить число книг на I полке буквой а, число 1[ткниг на II полке буквой к, записывает эти обозначения в кон- де таблицы, которая получилась на доске. Ставится вопрос: как ' записать, сколько веего книг на двух полках, если на одной из • них а книг, а на другой к книг? Учащиеся сами или с помощью :: учители, если это требуется, записывают: (а + к) книг. После й этого полезно еще раз подчеркнуть, что буквы в этой записи мо- - гут обозначать самые разные числа — и те, которые уже запйса- ны в таблице, и другие. Можно составить еще две-три анало- гичные задачи, предлагая новые значения для а и к, и решить эти задачи.

Можно первое знакомство с буквенными выражениями про- I вести и на отвлеченных примерах. Важно лишь, чтобы дети по­няли- что буквы в составленном выражении (а + к) обозначают самые разнообразные числа. Среди других случаев имеет смысл выделить и такой, когда обе буквы приобретают одинаковое значение (например, когда книг на I и II полке стоит поровну — по 6 или по 12), и такой, когда одна из букв приобретает, ска­жем, значение 0 (когда ^ I полке стоит, скажем, 8 книг, а на II — ни одной, а нужно узнать, сколько книг на обеих полках).

Дети должны также понять, что значение буквенного выра­жения может быть вычислено только после того, как указано числовое значение каждой из входящих в него букв.

С целью закрепления знаний, приобретенных при первом зна­комстве с буквенными выражениями, полезно выполнить ряд упражнений, связанных с вычислением значения данного буквен­ного выражения при заданных значениях букв. Полезным по­собием при проведении таких упражнений, будут таблички с прорезями, в которые вставлены подвижные ленты с написан­ными на них различными числами (рис. на с. 14, М. 2). Передви-~ гая ленты, нолучаем различные числовые выражения, вынув их — соответствующее буквенное выражение. Можно сделать н третью подвижную ленту, со знаками действий. Тогда с по­мощью одной такой таблицы демонстрируются все виды прос­тейших выражений с переменной (сумма, разность, произведе­ние и частное). Можно будет показать и такой случай, когда один пз компонентов действия представляет собой определен­ное число (постоянное), а второй — переменную, обозначенную буквой.

Учебник предусматривает выполнение разнообразных упраж­нений, связанных с нахождением числового значения буквенных выражений (задания, в которых даны выражение и значения букв, те же задания с записью в форме таблиц, задания, в ко­торых детям предлагается самим подобрать значения для буйв и вычислить соответствующие значения данного выражения, ре­шение задач с буквенными данными и составление задач по дан­ному выражению и др.).

Существенным моментом, на который нужно обратить специ­альное внимание, является ознакомление детей с разностью ви­да! а —к. Важно, чтобы дети разобрались в том, что в данном случае буквам а и к нельзя придавать любые, какие угодно зна­чения, так как в известной учащимся области чисел из меньше­го числа нельзя вычесть большее. Аналогично не может быть произвольным и подбор числовых значений для выражения а : х, так как дети еще не знакомы с дробями и поэтому здесь числам а и х можно придавать лишь такие значения, при которых деле­ние выполнимо в целых числах.

Начиная с первого же урока учитель предупреждает, что в буквенных выражениях можно использовать самые различные буквы, что в математике принято пользоваться для обозначения любого числа буквами латинского алфавита, с которыми дети постепенно знакомятся. Полезно вывесить в классе плакат с ла­тинским алфавитом, в котором указать и начертание букв (про­писных и строчных) и их названия.

Продолжается в теме «Сотня» и работа над равенствами, не­равенствами и уравнениями. В начале II класса (М. 2, с. 49) вводятся сами термины «равенство» и «неравенство». Делается это без каких-либо разъяснений, как названия известных уже детям вещей. В дальнейшем в формулировках заданий все чаще встречаются термины «верные равенства (неравенства)» и «не­верные равенства (неравенства)». Детям предлагается проверить, какие из предложенных равенств (или неравенств) являются верными, а какие нет.

Продолжаются упражнения в сравнении выражений, реша­ются подбором простейшие неравенства с переменной. Чаще все­го в этих случаях детям предлагается набор чисел, из которых они должны выбрать те, при которых данное неравенство оказы­вается верным. Эти упражнения не вызывают обычно затрудне­ний у детей. Единственный формальный вопрос, который возни­кает иногда в связи с выполнением таких заданий, — форма записи. На данном этапе обучения лучше всего выписывать от­дельно каждое из найденных значений буквы. Например, если требовалось узнать, при каких значениях а верно неравенство а < 8, и были предложены на выбор числа: 9, 5, 10, 8, 2, 7, то от­вет будет: при а = 5, а = 2, а = 7. Сама подстановка этих значе­ний и вычисления производятся устно.

Упражнения, связанные со сравнением выражений, в принци­пе не отличаются от тех, которые выполнялись раньше, хотя и строятся они, естественно, с использованием того нового мате­риала, который накапливается по мере изучения свойств дейст­вий, новых чисел, новых единиц измерения.

Значительно усложняется в теме «Сотня» работа по решению уравнений. К решавшимся в теме «Десяток» уравнениям, осно­ванным на использовании связи между компонентами и резуль­татами сложения и вычитания, добавляются аналогичные прос­тейшие уравпения, связанные с нахождением неизвестного ком­понента умножения и деления. Однако наряду с этими уравнениями во II классе вводятся также несколько более сложные по своей структуре уравнения, связанные с нахождением неизвестного компонента сложения или вычитания.

В программе предусмотрены следующие виды таких уравне­ний! * + 15 = 38 — 20, 17 — т = 50 — 30, (18 + 22) + я =» 50, (16 + х) — 34 = 10 и т. п.

Наиболее легкими из них являются такие, в одной из частей которых содержится числовое выражение, найдя значение кото­рого легко свести это уравнение к зна'комому детям виду: 14 — х = 3 - 2. Вычислим значение произведения, записанного в правой части-уравнения, и получим уравнение знакомого вида:

[4 — х — 6, с решением которого учащиеся легко справятся, если усвоили, как находится непзвестноэ вычитаемое

х — 14 — 6, х = 8). Как и обычно, выполняется проверка реше­ния:

.4 — 8 = 3-2. Вычислив значения выражений в левой и правой части равенства, получим:

= 6.

Немногим .труднее уравнения вида: (18 + 22) -f- х — 50. Здесь оже достаточно вычислить значение числового выражения, за- люченного в скобки, чтобы свести это уравнение к известному етям. Однако в этом случае ученикам несколько труднее «уви- еть» это числовое выражение. Этому помогает правильное чте- ие таких уравнений, при котором с самого начала выделяются омпоненты последнего действия. Так, прежде чем решать рас- матриваемое уравнение, следует предложить детям прочитать

его (и поступать так же п при самостоятельном решении). Вы­ясняем, какое действие является последним. Это сложение. На­ходим первое слагаемое. Это сумма чисел 18 и 22. Второе сла­гаемое — х. Сумма равна 50. Первое-слагаемое выражено сум­мой. Ее можно вычислить.

Наиболее сложен случай, когда неизвестное число входит в состав одного из компонентов, который выражен суммой или разностью. В этом случае приходится дважды применять извест­ные правила нахождения неизвестного слагаемого. При этом исходным моментом является установление того, какой компо­нент последнего действия известен. Зная его п результат, нахо- „ дим, чему будет равен неизвестный компонент, а затем получаем уже уравнение знакомого вида. Например: (36—х) -f- 5 = 20. Устанавливаем, что известно второе слагаемое .5 и сумма 20 и что поэтому неизвестное слагаемое, которым в дапном случае является выражение 36_— х, может быть найдено так: 36 — х = = 20 — 5. Получили знакомое .уравнение (см. выше). Закончить решение и осуществить проверку "его можно предложить детям.

Поскольку решение такого рода уравнений трудно, то боль­шая их часть решается под руководством учителя, с комменти­рованием. Для самостоятельной работы сначала можно предла­гать только отдельные элементы решения, причем обычно самым трудным является первый шаг в рассуждении, который невозмо­жен без четкого «прочтенпя» заданного уравнения. В связи с эТим, как правило, всегда такие уравнения должны быть снача­ла прочитаны вслух в классе.