Неравенства с .Переменной

' Впервые с неравенствами, содержащими переменную, дети встречаются в I классе, где такие неравенства задаются с исполь­зованием условного знака, который дети часто называют «окошеч­ком». (Равенства такого вида упоминались выше.) Так, для I класса предлагаются, например, неравен­ства вида: 5 + 3 < □. Дети должны подставить в «окошечко» такие числа, чтобы запись была верной. Аналогичные упражнения во II классе, после введения букв, предлагаются уже с обозначе­нием переменной любой буквой латинского алфавита.

Решаются неравенства в начальной школе только методом подбора. Как правило, и задания формулируются так: «Подбери такое число, при котором данное неравенство будет верным». До­вольно часто детям дают несколько значений переменной и пред­лагают из данного ряда чисел выбрать те, при подстановке кото­рых в данное неравенство получится верное неравенство.

Работа с неравенствами в начальной школе в основном на­правлена на формирование понятия о переменной и с точки зре­ния обучения решению неравенств носит пропедевтический ха­рактер.

Уравнения

При характеристике содержания обучения в начальных клас­сах отмечалось, что первое знакомство с уравнением происходит в I классе, где оно вводится как название равенств вида: 3 + х = 8, 9 — х = 2, х — 6 - 3.

В ходе решения этих-; уравнений у детей должно быть посте­пенно сформировано понимание уравнения как равенства, содер­жащего неизвестное число, обозначенное буквой. Они должны понять, что всякий раз, как мы встречаемся с уравнением, зада­ча заключается в том, чтобы найти то значепие этого неизвестного числа, при котором равенство будет верным. Значение неизвест­ного при решении уравнений в I—4 классах, как правило, на­ходится на основании знания связи между компонентами и ре­зультатами действий.

Наряду с этим (основным для начальных классов) способом ре­шения уравнений в ряде случаев можно использовать и другие, основанные на применении известных детям элементов арифмети­ческой теории. Например, уравнение вида х - 17 = 17 • 35 может быть решено без выполнения вычислений на основании знания переместительного свойства произведения. Аналогично уже в I классе уравнение вида 26 -f х = 26 -f 18 может быть решено на основе простого рассуждения:

«Если к равным числам прибавили поровну, то и получится поровну. Значит, х =18».

Сложность рассматриваемых уравнений от класса к классу, от года к году повышается в соответствии с требованиями, зафикси­рованными в программе.

Первые шаги в формировании понятий «равенство», «неравенство», «уравнение»

С отношениями равенства и неравенства дети встречаются начиная с первых уроков при сравнении двух множеств предме­тов, посредством установления взаимно-однозначного соответ­ствия между ними, их элементами (еще до счета предметов). Уже в ходе этих упражнений ученики наблюдают, что если в одном из сравниваемых множеств оказалось больше элементов, чем в другом (в результате установления соответствия некоторые эле­менты этого множества оказались без пары в другом множестве), то это означает, что в другом пз сравниваемых множеств элемен­тов меньше, чем в первом.

После того как практические действия с множествами связы­ваются со счетом предметов, соответствующие упражнения уже. прямо подводят детей к рассмотрению вопроса о равенстве и не­равенстве чисел.

В ходе Дальнейшей работы при изучении темы «Нумерация чисел 1 —5 10» на основе аналогичных практических упражнений первоклассники усваивают количественные отношения между дву­мя соседними числами ряда, осознают последовательность чисел в натуральном ряду как такую, в которой каждое следующее число на 1 больше предыдущего. В связи с этим они усваивают,

~ что каждое число в ряду оолыпе люоого из тех, которые встре­чаются при счете перед ним, и меньше любого из тех, которые ~ встречаются в ряду чисел после него. Таким образом они учатся сравнивать числа уже без опоры на данные непосредственного опыта, без опоры на предметную наглядность, лишь на основе знания того, какое из двух сравниваемых чисел встречается при счете раньше другого (оно и будет меньшим, а другое большим). Уже при ознакомлении с числами 1 и 2 знакомятся дети и со зна­ками отношений и упражняются в записи и чтении числовых ра- венств и неравенств вида 1 <2, 2 > 1, 3 = 3.

С числовыми равенствами дети встречаются и тогда, ко<да записывают, как может быть получено каждое из рассматривае­мых чисел в результате сложения двух других чисел или в ре­зультате вычитания. Это равенства вида: 3 + 1=4, 4 — 1 = 3 и т. п.

Однако на этом этапе обучения подобные записи еще не трак­туются в качестве равенства. Исподволь ведется подготовка к такому их пониманию.

В теме «Нумерация чисел 1 — 10» дети встречаются фактиче­ски и с равенствами, содержащими неизвестное число (в записях вида: 3+111 = 5, □ — 1 = 6 и т. п.). Неизвестное находится в это время на основе знания соответствующих случаев состава чисел.

В связи с рассмотрением задач на нахождение суммы и ос­татка, а также задач на увеличение (уменьшение) данного чис­ла на несколько единиц, выясняется, что, прибавляя к данному числу 1 или несколько единиц, мы тем самым увеличиваем его, а вычитая — уменьшаем. Это знание используется в дальнейшем при рассмотрении вопроса о том, как из данного неравенства может быть получено равенство. Еще на первых уроках, проводя практические упражнения с множествами предметов, обращалось внимание учащихся на то, как можно уравнять два неравных между собой по числу элементов множества (убрать «липшие» или добавить «недостающие»). Это помогает рассмотреть и во­прос, как уравнять левую и правую части в данном неравенстве (соответствующие термины в работе с детьми при этом не ис­пользуются).

Рассматривая получение числа в результате сложения и со­ответствующие случаи разложения числа на два слагаемых (со­става числа), дети выполняют записи вида: 4 + 2 = 6, 6 = 4 + 2 Такие упражнения, хотя в ходе их выполнения и не используются никакие специальные термины, служат под­готовкой к формированию у детей понятия равенства, свойства симметричности отношения равенства между натуральными чис­лами.

Постоянно встречаясь с составлением простейших числовых выражений и вычислением их значения, дети пока не пользуются соответствующими терминами, но накапливаемый опыт готовит

их к проведению сравнения выражений, а в дальнейшем — и к выполнению действий над выражениями, к работе с выражения­ми более сложной структуры.

На странице 59 учебника вводится название выражения вида: 3+2 — «сумма». , ,—

Сравнение выражений сначала предлагается детям в виде сравнения двух заданных «примеров». Так, после вычисления сумм 5+3=8и5+4=9 детям предлагается выяснить, чем похожи и чем отличаются эти примеры, какая из полученных сумм большая, почему? __

Сравнение выражений используется и при ознакомлении с пе- реместптельным свойством суммы. Дети сравнивают при этом примеры вида: 5 + 1 и 1 +5, 2 + 3 и 3 + 2. Вычислив значения этих выражений, они делают требуемый вывод и записывают: 2 + 3 = 3 + 2.

При рассмотрении случаев вида а ± 2 дети знакомятся со сравнением числа и выражения и соответствующими записями (М. 1, с. 43). Сравнение выполняется на основе вычисления значения выражения и сравнения полученного числа с данным: «8 — 2 < 8, так как 6 < 8». Однако уже и при рассмотрении этих первых примеров можно обратить внимание детей на то, что от­ветить на вопрос, что больше — 8 или 8 — 2, можно, и не вычисляя разности, на основе такого рассуждения: если из 8 вычесть 2, то станет-меньше, чем 8, данное число при вычитании из него не­скольких единиц уменьшается, значит, 8 — 2 меньше, чем 8. На первых порах такие' рассуждения выполняются уже после того, как сравнение выполнено с использованием вычислений, но в дальнейшем они могут стать исходными, а подученный на пх ос­нове вывод и в этом случае должен проверяться с помощью вы­числений.

На странице 65 учебника предусматривается, ознакомление детей со сравнением двух выражений. Одновременно рассматри­ваются случаи равенства и неравенства двух выражений. Как и по отношению к сравнению числа и выражения, сначала основой служат вычисления и сравнение полученных чисел (3 + 2=4 + 1, так как 5=5 или: 2 + 3 > 5 — 1, так как 5 > 4). Однако, сравнивая два выражения, дети часто «угадывают» ответ, опи­раясь на интуицию. Например, сравнивая выражения 6 + 2 и 6 + 3, ребенок' уверенно говорит, что 6+3 больше, чем 6 + 2, и объясняет, например, так: «было поровну, где больше приба­вили, там и стало больше». Такой подход к решению надо все­мерно поддерживать, стимулируя попытки сравнивать выражения до вычисления их значения, однако каждый раз такую «догадку» следует проверять с помощью вычислений.

При тэзнакомлении детей со связью между суммой и слагае­мыми, с нахождением одного из слагаемых по данным сумме и другому слагаемому, вводится обозначение неизвестного числа с помощью буквы х («икс») и детям сообщается, что запись ви­да 3 + х = 9 называется уравнением, что х в этой записи обозна­чает то неизвестное число, которое нужно прибавить к 3, чтобы , получалось 9. Решить уравнение — значит найти это неизвестное число.

Уравнения читаются в это время так: «Сумма чисел 3 и ж рав­на 9. Найти оп>; «Если к трем прибавить неизвестное число х, то получится 9. Какое это число?», или: «Какое число нужно при­бавить к 3, чтобы получилось 9?»; «К какому числу нужно приба­вить 5, чтобы получилось 6?» и т. п.

На странице учебника дан образец решения уравнения.

Работу над новым материалом на уроке, посвященном озна- ;; комлению с уравнением и его решением, можно провести так.

Начав с повторения того, как может быть найдено неизвестное | слагаемое, решив несколько заранее записанных на доске приме- J ров с «окошками», в которых надо найти первое и второе слагае- Ё мые, можно перейти к работе по учебнику. Рассматривая таблицу, |1 дети должны ответить на вопросы: что известно в первом стол­бике таблицы «(слагаемое, слагаемое, сумма) и что известно во втором столбике (известны сумма и одно из слагаемых)? Что не­известно? (Второе слагаемое.) В таблице вместо него оставлена ^: пустая клетка. Когда мы записывали такие примеры, то мы тоже вместо неизвестного слагаемого ставили пустую клетку. «Но, — говорит учитель, — в математике неизвестные числа обозначают J буквами, причем нерусскими. Так, мы будем с вами обозначать в дальнейшем неизвестное число буквой, которая пишется так же, как русская буква х, но называется «икс». Так, если нужно записать, чтр к 5 прибавили какое-то неизвестное нам число и : получили 7, то раньше мы записали бы это так: 5 + □ = 7, а те­перь вместо «окошечка» (стирает его на доске) мы запишем бук­ву х. Читается запись так: «Если к пяти прибавить х, то полу­чится 7», или: «Сумма чисел 5 и х (х — тоже число, только еще неизвестное нам) равна 7. 5 + х = 7 — это уравнение». В этом i уравнении неизвестно второе слагаемое. Узнать это слагаемое, Щ: найти его — значит решить уравнение.

Вспомните, как можно узнать неизвестное слагаемое (дети повторяют правило). Запишем: х = 7 — 5. Мы записали, как мож­но узнать х, теперь выполним вычитание и запишем, чему равен х. Запись: х — 2. Мы нашли, чему равен х. Проверим, правильно ли мы его определили. Для проверки правильности решения урав- нения нужно найденное число подставить в уравнение на место не­известного числа и выполнить вычисления. Если к 5 прибавить 2, то получится 7. Слева от знака равенства у нас записана сумма чисел 5 и 2, а справа — число 7. Выясним, правильно ли будет . поставить между ними знак «равно». Вычислим сумму, запи­санную слева от знака равенства (5 + 2 = 7) и справа от знака равенства (тоже 7). Значит, мы решили уравнение правильно».

Аналогично разбирается решение уравнений, образцы кото­рых приведены в учебнике.

На следующем уроке полезно познакомить детей с составле­нием уравнения п₀ текстовой сюжетной задаче, на примере задач различных видов. Покажем, как это может быть сделано.

Решив два-три уравнения (в одном из которых будет неиз­вестно первое слагаемое, в другом — второе), можно предложить детям записать уравнение под диктовку учителя. Учитель дикту­ет; один из учеников записывает под его диктовку уравнение на доске, остальные — в своих тетрадях. «Если к числу 6, — говорит учитель, — прибавить неизвестное число, то получится 8. Как вы записали?» Дети читают на доске запись, проверяют по ней свои записи. Решают они уравнение сами, используя образец записи, данный на странице 62 учебника.

Далее учитель сообщает.следующую задачу: «Я задумал чис­ло. Если к этому числу прибавить 3, то получится 5. Какое число я задумал? Запишите. Составьте уравнение по этой задаче, обо­значив буквой х задуманное число». Учитель еще раз повторяет текст задачи. Запись снова проверяется коллективно.

Следующие задачи: 1) «Первое слагаемое неизвестно, вто­рое 3. Сумма равна 7. Найти неизвестное слагаемое».

2) «Первое слагаемое 7, второе слагаемое 1. Сумма неизвест­на». (Уравнение, составленное по этой задаче, будет иметь вид: 7 + 1 = х.) Чтобы решить его, достаточно найти сумму чисел 7 и J. Аналогично для задачи на нахождение остатка: чтобы узнать задуманное число, нужно из 8 вычесть 2. Какое число задумано? х = 8 — 2; значит, х — 6.

«Так чему же мы научились сегодня?» — спрашивает учитель, подводя итог проделанной работе. Дети должны ответить, что они научились составлять уравнение по разным задачам. Учитель под­черкнет, что уравнение можно составить по любой задаче.

Доведя до сознания детей, что уравнение может быть состав­лено по любой задаче, учитель на последующих уроках будет вре­мя от времени упражнять их в этом, однако решение задачи мо­жет выполняться и без составления уравнения (в том числе и задач, связанных с нахождением неизвестных компонентов дей­ствий)*. Каждый раз, когда учитель захочет, чтобы дети составили уравнение, он должен будет это требование специально оговари­вать. Если такой оговорки не сделано, то каждый ученик может ванисать решение задачи и без составления уравнения.

Как при решении текстовых задач на нахождение неизвест­ного слагаемого, так и при решении соответствующих уравнений на первых уроках решение следует искать не столько на основе применения правила нахождения неизвестного слагаемого (оно еще не может быть достаточно сознательно и прочно усвоено в это время), сколько на основе наглядности.

Так, на уроке, следующем за введением уравнений и показа их решения, соответствующие упражнения выполняются с исполь­зованием иллюстраций, аналогичных тем, которые даны на стра­нице 63 учебника.

Поясняя рисунки, учитель скажет, что дощечкой прикрыто сколько-то четырехугольников, а сколько — неизвестно. Поэтому на дощечке и написано х. Надо узнать, сколько их прикрыто.

Следует обязательно объяснить способ решения наглядно: все­го 9 четырехугольников, 6 видно. Надо узнать, сколько прикрыто. Если из 9 ^убрать все те, которые видны, то останутся те, что при­крыты. Нужно из 9 вычесть 6, получится 3; х '— 3.

Решение текстовой задачи (например, «Около дома 10 уток и кур. Уток 8. Сколько кур около дома?» — может быть выполнено и без составления уравнения, но затем в качестве дополнительного задания можно предложить составить уравнение по этой задаче. Дети, сравнив оба решения, еще раз повторят правило нахождения неизвестного слагаемого.

Вообще, все упражнения, связанные с нахождением неизвест­ного слагаемого, на данном этапе обучения должны быть исполь­зованы в качестве основы для формирования соответствующего обобщения. Преждевременное использование правила как основы их решения на данном этапе обучения, как показывает опыт, не­редко приводит к формализму в знаниях детей. Ребенок должен каждый раз понимать, почему задача (уравнение) решается с помощью действия вычитания. Только после этого внимание уча­щихся должно обращаться на- то, что было известно (сумма и одно из слагаемых), что требовалось узнать (второе слагаемое), каким действием его нашли (вычитанием). Таким образом, пра­вило может и должно на этом этапе обучения чаще выступать в качестве-вывода, обобщения уже выполненного решения, а не в качестве его основы. Это не значит, конечно, что следует запре­щать детям ссылаться на правило в ходе решения. Нуясно, однако, каждый раз проверять, в какой мере сознательно ими это правило используется, могут ли они объяснить, почему все же для нахож­дения одного из слагаемых приходится из суммы вычитать дру­гое. Такое объяснение можно дать, используя наглядность или приведя более простой пример: 3 + 2 = 5, 5 — 2 = 3, 5 — 3 = = 2, — когда из суммы вычитаем одно из слагаемых, то получаем другое.

Связь между результатами и компонентами действий — осно­ва, на которой строится вся дальнейшая работа'по обучению де­тей решению уравнений в начальных классах. Этому вопросу сле­дует уделпть самое серьезное внимание, с самого начала обеспе­чив достаточно осознанную и прочную основу для применения соответствующих знаний.