Числовые равенства и неравенства

В практике обучения в начальных классах числовые выраже­ния с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с чис­ловыми равенствами и неравенствами.

В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальных классах вместо этих терминов употребляют слова «верные» и «неверные». Например, равенство 6 + 7 = 13 верное, а равенство 6 + 7 = 12 неверное. Для лучшей подготовки детей к рассмотрению вопросов об истинности или ложности рассматриваемых равенств и неравенств в следующих классах полезно приучать детей к оценке истинности илп ложно­сти полученных равенств и неравенств уже с первых шагов обуче­ния в начальных классах.

Так, в I классе, где еще термины «равенство» и «неравенство» не используются, учитель может при проверке правильности вы­полненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: «Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное это решение или неверное?», или предлагать детям упражнения, в которых требуется проверить решение данных примеров, найти неверные записи, заменить их верными и т. п. Аналогично при рассмотре­нии числовых неравенств вида 5 < 6, 8 > 4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: «Верны ли эти записи?» (а после введения термина «неравенство» — «Верные ли эти неравенства?») Или: «Подбери такое число, чтобы,-подставив его в «окошечко», мы получили - верное равенство: 5 + 18 = = 18 + □».

Начиная с I класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемыми на основе применения изученных элементов арифметической теории (нумерации, смыс­ла действий, свойств действий и др.). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представ­лять любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выраже­ний в связи с изучением многих вычислительных приемов. На­пример: 23 + 4 = (20 + 3) + 4, применяя затем известное уже к этому времени правило прибавления числа к сумме, дети могут продолжить преобразование выражения, заменив его таким: 20 + (3 + 4) и т. д.

В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети встречаются с «цепочкой» равенств.

Подготовка к ознакомлению с переменной.

Элементы буквенной символики

Введение в начальный курс обучения элементов буквенной символики предполагает, что дети уже в младшем школьном воз­расте должны подняться еще на одну чрезвычайно важную сту­пень на пути к овладению абстрактными понятиями математики. Переход от действий с числами, от рассмотрения числовых вы­ражений, равенств и неравенств к выражениям, содержащим переменную, обозначенную буквой, — сложная и ответственная задача.

Этот переход должен быть весьма тщательно подготовлен. Си­стема соответствующей подготовительной работы, намеченная в учебниках для I—III классов, обеспечивает накопление достаточ­ного запаса знаний в ходе изучения чисел и арифметических дей­ствий с ними; она предусматривает и специальные упражнения, постепенно подводящие детей к осознанию переменной.

Учителю важно разобраться в этой системе и целенаправленно использовать каждое такое упражпение₁ чтобы не «перескочить»,

работая с детьми! ни через одну из намеченных в этой «лесенке» ступеней.

Так, впервые дети встречаются с использованием переменной уже в теме «Десяток» (I класс), когда им предлагаются так на-, зываемые примеры с «окошечком». Например, при составлении таблиц сложения и вычитания в пределах 10 используется та­кое обозначение: □ + 1 Учитель объясняет, что в «окошечко» можно подставлять числа от 1 до 9, записывать со­ответствующие примеры, решать их, и в результате получится таблица, данная на той же странице книги.

Несколько позднее наряду с примерами, в «окошечко» кото­рых должно быть подставлено-определенное число, подсказывае­мое соответствующим рисунком, вводятся и такие примеры, в которых в «окошечко» могут быть подставлены и разные числа (см., например, упражнения, раскрывающие прием прибавления числа по частям вида 5 + 3 = 5+ □ + □• В данном случае в первое «окошечко» можно подставить, скажем,, число 1, тогда во втором будет число 2, но можно поступить и иначе, прибавив сначала 2, а потом 1).

На странице 45 мы встречаемся уже с такими примерами: □ _+ □ = 6, 6 = □ + □. Дети убеждаются, что. верное равен­ство в данном случае можно получить, подставляя вместо пропу­сков различные комбинации чисел (5 и 1, 4 и 2 и т. п.). Эти упраж­нения постепенно усложняются. Приведем, например, задапия такого вида (как даны на с. 47 учебника под № 3), где детям пред­лагается составить задачу по рисунку и записи □ + 3 = □, причем рисунок не подсказывает числа, которое должно быть поставлено вместо первого «окошечка».

Подготовкой к рассмотрению переменной является и вся си­стема упражнений по заполнению таблиц, в которых представле­нье например, различные значения слагаемых, а требуется найти, соответствующее каждой паре таких значений знЯ^ение суммы. Среди таких таблиц встречаются и таблицы, которые дают воз­можность познакомить детей практически со случаем, когда зна­чение одного слагаемого (или уменьшаемого, вычитаемого и пр.) остается постоянным, а значения другого слагаемого изменяются.

К сожалению, наблюдения за практикой работы школ показы­вают, что довольно часто учителя недооценивают важности этих упражнений и используют их лишь как упражнения в вычисле­ниях и для закрепления знания связи между компонентами и ре­зультатами действий. Это ослабляет подготовку детей к осознанию смысла буквы, которая во II классе будет введена для обозначе­ния переменной.

Чтобы использование таблиц такого вида было полноценным, важно обращать внимание на то, меняется ли значение уменьшае­мого, вычитаемого, разности, спрашивать, какое значение разно­сти соответствует тому или иному значению уменьшаемого и вы­читаемого и т. п.

Во II классе в начале года вводятся буквенные обозначения переменной и начинается работа над выражениями с переменной.

Основные направления в работе, связанной с использованием буквенной символики, в дальнейшем состоят в нахождении зна­чения выражения, содержащего переменные, при заданных чис­ловых значениях входящих в него букв, в записи в общем виде некоторых усвоенных ранее арифметических закономерностей (например, перемёстительного свойства суммы: а + Ъ = Ъ -j- а), в решении задач с буквенными данными. Методика соответствую­щей работы подробно рассмотрена в § 37 настоящей книги.