5. Деривационные формулы

Пусть S - регулярная поверхность класса - её регулярная параметризация. Обозначим

где дискриминант первой квадратичной формы поверхности .

Векторы линейно независимы и образуют базис в пространстве , следовательно, любой вектор можно разложить по этому базису. Выясним компоненты разложения по этому базису частных производных векторов базиса . Формулы, которые при этом будут получены, аналогичны формулам Френе в теории кривых и называются деривационными формулами теории поверхностей.

С и м в о л ы Х р и с т о ф ф е л я.

Предварительно введём в рассмотрение специальные символы. Продифференцируем по соотношение . Получим

(5.1)

В равенстве (5.1) дважды пере обозначим индексы по схеме

(такая операция называется также циклической подстановкой индексов). В результате будем иметь:

(5.2)

(5.3)

Учитывая симметрию скалярного произведения и частных производных сложим равенства (5.1) и (5.2), из их суммы вычтем (5.3), а результат умножим на . В итоге получим

(5.4)

Для величины в правой части введём обозначение

(5.5)

Числа называют символами Христоффеля первого рода. Отметим, что

(5.6)

Из (5.4) непосредственно следует соотношение

(5.7)

дающее выражение частных производных метрического тензора через символы Христоффеля первого рода.

Величины

(правило Эйнштейна!) (5.8)

называют символами Христоффеля второго рода. Отметим, что из (5.6) непосредственно следуют соотношения

(5.9)

а из (5.8)

(5.10)

Символы Христоффеля - не тензоры (докажите!), однако к ним применяются тензорные операции поднятия и опускания индекса (5.8) и (5.10).

Непосредственно из определения следует, что символы Христоффеля зависят только от метрики поверхности и её параметризации.

Ф о р м у л ы Г а у с с а – В е й н г а р т е н а.

Разложим вектор по базису , пока с неопределенными коэффициентами:

(5.11)

Умножим (5.11) скалярно на . Так как получим .

Умножим теперь (5.11) скалярно на :

или

Свернём обе части последнего равенства с по индексу

Таким образом, формулы (5.11) приобретают вид

(5.12)

Соотношения (5.12) называют формулами Гаусса.

Обозначим и разложим вектор по базису пока с неопределёнными коэффициентами:

(5.13)

В (5.13) компонента по отсутствует, так как дифференцированием по равенства получаем, то есть и принадлежит касательной плоскости поверхности.

Умножим (5.13) скалярно на :

или, с учётом (4.2),

(5.14)

Свернем обе части равенства (5.14) с по индексу k,

или

Окончательно формулы (5.1З) принимают вид:

, или (5.15)

Соотношения (5.15) называют формулами Вейнгартена.

6. Основные уравнения теории поверхностей

Первая и вторая квадратичные формы поверхности не независимы. В этом параграфе будет получена связь между их коэффициентами. Предполагаем, что рассматривается регулярная поверхность S класса с регулярной параметризацией .

Вычислим третьи частные производные радиуса - вектора поверхности, исходя из формул Гаусса (5.12):

Выразив вторые производные радиуса - вектора и первые производные нормали по формулам Гаусса - Вейнгартена, будем иметь

Аналогично

Так как поверхность S класса , порядок дифференцирования радиуса - вектора не важен, поэтому

(6.1)

Равенство векторов (6.1) влечёт равенство их составляющих по векторам базиса , , . Приравняем составляющие и по

Свернём по обе части этого равенства с

Для преобразования частных производных метрического тензора воспользуемся равенствами (5.7):

Окончательно

Существенное равенство даёт комбинация значений . Остальные комбинации значений индексов либо приходят к тождеству 0 =0, либо дают уже полученное равенство:

(6.2)

Соотношение (6.2) называют уравнением Гаусса. Из формулы

и (6.2) получаем следующую формулу для гауссовой кривизны

6.3)

Из (6.3) следует.

Т е о р е м а (Г а у с с а). Гауссова кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные до второго порядка.

Теперь приравняем составляющие и по

.

Наборы значений индексов и дают существенные равенства. Остальные наборы значений дают либо тождество 0=0, либо уже имеющиеся равенства:

(6.4)

Равенства (6.4) называют уравнениями Петерсона - Кодацци.

Мы доказали, что если и - первый и второй основные тензоры регулярной поверхности класса, то их компоненты необходимо связаны соотношениями (6.2) и (6.4). Оказывается, эти соотношения являются и достаточными условиями того, чтобы тензоры и были первым и вторым основными тензорами поверхности. Именно, справедлива

О с н о в н а я т е о р е м а т е о р и и п о в е р х н о с т е й.

Для формулировки нам нужно ещё одно определение. Симметрический тензор называется положительно определённым, если положительно определена квадратичная форма .

Т е о р е м а. Пусть в односвязной области D -плоскости задан положительно определённый тензор и симметрический тензор, удовлетворяющие уравнениям Гаусса-Петерсона-Кодацци.

Тогда в пространстве существует единственная с точностью до движения регулярная поверхность , параметризованная в области D, у которой и - первый и второй основные тензоры.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса.