4.Тензорные поля на поверхности

В этом параграфе рассматриваются тензоры на плоскости и тензорные поля на двумерной поверхности. Понятие тензорного поля дословным повторением распространяется на любую размерность, но так как в курсе дифференциальной геометрии изучаются лишь двумерные поверхности, здесь ограничимся случаем n=2.

Пусть регулярная поверхность S отнесена к локальным параметрам . Обозначим радиус-вектор текущей точки поверхности S; . В каждой касательной плоскости поверхности векторы задают (аффинный) базис. При преобразовании локальных координат на поверхности с ненулевым якобианом

базис касательной плоскости в каждой точке поверхности преобразуется следующим образом (правило дифференцирования сложной функции):

(правило Эйнштейна!).

Обратное преобразование:

Таким образом, при преобразовании базиса в касательной плоскости роль матрицы играет матрица , а матрицы - матрица .

Пусть на векторах каждой касательной плоскости к поверхности задан тензор (например, третьей валентности):

.

Такого сорта форму называют тензорным полем на поверхности S; числа компонентами тензорного поля ; часто сами эти компоненты называют тензорным полем или тензором на поверхности, в данном случае один раз контравариантным и дважды ковариантным.

Закон преобразования компонент тензорного поля:

(4.1)

Матрицы преобразования, разумеется, так же, как и компоненты тензорного поля, зависят от точки поверхности и от её локальных координат . Часто, если невозможны недоразумения, зависимость компонент тензорного поля от точки поверхности не указывают:

.

Преобразование, обратное (4.1), имеет вид:

.

Правило выписывания таких формул при введённых обозначениях очень простое: справа, у матриц преобразования повторяются те же индексы, что и слева у тензора, причём в том же положении, что были слева - те, что внизу слева - также внизу справа; аналогично с верхними индексами. Затем они у матриц преобразования дополняются штрихованными индексами противоположного расположения (либо не штрихованными, если слова были штрихованные), которые суммируются с индексами компонент тензора, стоящих справа.

П р и м е р ы т е н з о р н ы х п о л е й.

1. Координаты векторного поля на поверхности - одновалентное контравариантное тензорное поле.

2) Первая квадратичная форма поверхности:

;

.

- дважды ковариантный симметричный тензор на поверхности - первый основной тензор поверхности.

3) Вторая квадратичная форма:

(4.2)

-дважды ковариантный симметрический тензор – второй основной тензор поверхности.

4) Положим в любой системе координат в любой точке поверхности. Проверим, что получим тензор:

- один раз ковариантный и один раз контравариантный тензор, называемый тензором Кронекера.

О п е р а ц и и н а д т е н з о р н ы м и п о л я м и осуществляются поточечно в каждой точке поверхности.

П р и м е р ы.

1)

В каждой фиксированной точке поверхности это обычное сложение тензоров на касательной плоскости в этой точке.

2)Свёртка - поднятие индекса:

- смешанные компоненты второго основного тензора.

Докажем, что , где - средняя кривизна поверхности (инвариант).