Настоящие методические указания предназначены для студентов второго курса механико-математического факультета, изучающих дифференциальную геометрию (математиков и механиков). Они содержат доступное изложение основных понятий тензорной алгебры на n -мерном евклидовом пространстве и тензорных полей на двумерной поверхности (кроме ковариантного дифференцирования).
С использованием тензорного аппарата выводятся деривационные формулы и основные уравнения теории поверхностей. Разбирается ряд примеров тензоров, тензорных полей, операций над тензорами и тензорными полями.
Основная литература
Н.В.Ефимов, Э.Р.Розендорн, Линейная алгебра и многомерная геометрия. -
М.,1970.
И.Н.Векуа, Основы тензорного анализа и теории ковариантов. - М., 1978.
Дополнительная литература
1. В.Ф.Каган, Основы теории поверхностей. - Т.1, Т.2. - М., 1948.
2. Я.А.Схоутен, Тензорный анализ для физиков. - М., 1965.
Тензор - совокупность чисел, присоединённых к точке пространства и определяющих там некоторый объект (геометрический или физический). Следовательно, сам тензор зависит от точки, а не от выбранной системы координат, хотя компоненты тензора при изменении системы координат меняются.
Эли Картан, Риманова геометрия в ортогональном репере, с.74.
1. Вспомогательные сведения
О п р е д е л и т е л ь Г р а м а
Предположим, что
в произвольном действительном линейном
пространстве L
дана квадратичная форма
и конечная система векторов
.
О п р е д е л е н и
е . Определителем Грама для квадратичной
формы
и системы векторов
называется величин
Т
е о р е м а 1.1 .Пусть квадратичная форма
положительно определена. Тогда, если
векторы
линейно независимы, то
.
Если
векторы
зависимы,
то
.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть векторы
линейно
независимы. В таком случае они составят
базис в своей
линейной
оболочке
.
Произвольный вектор
можно записать в виде
.
Будем рассматривать
на векторах из
.В
базисе
имеем
Так как
положительно определена на всём
пространстве L,
то она
положительно определена и на подпространстве
,
так что
по критерию Сильвестра
(1.1)
Заметим, что
.
Отсюда и из(1.1)
Пусть теперь
линейно зависимы. Тогда найдутся числа
,
не все равные нулю, для которых
,
где
- нулевой элемент линейного пространства
L.
Подставим
в тождество
.
Придавая i значения 1,…,k, получим однородную систему K линейных уравнений с К неизвестными:
Эта система заведомо
имеет ненулевое решение
,
то есть её определитель равен нулю:
.
Теорема 1.1 доказана.
К о в а р и а н т н ы е и к о н т р а в а р и а н т н ы е к о о р д и н а т ы в е к т о р а.
Рассмотрим n
- мерное
евклидово пространство
и базис
в этом пространстве. Любой вектор
может быть разложен по этому базису:
. (1.2)
В последнем равенстве в (1.2) использовано следующее с о г л а ш е н и е о с у м м и р о в а н и и : если в выражении один и тот же индекс встречается вверху и внизу, то по нему производится суммирование от 1 до n , где n - размерность рассматриваемого пространства. Это соглашение называют также правилом Эйнштейна. Далее оно будет использоваться без специальных оговорок.
При переобозначении индекса суммирования сумма, очевидно, не изменяется, в связи, с чем индексы, по которым производится суммирование, иногда называют "глухими":
Числа
в
(1.2) называются
контравариантными координатами вектора
в базисе
(смысл этого термина разъяснён ниже).
Очевидно, числами
вектор
определяется однозначно.
Числа
(где
-
скалярное произведение вектора
на вектор
в
)
называют ковариантными координатами
вектора
.
Если
векторы базиса
единичные,
то
-
ориентированная длина проекции вектора
на
Л е м м а 1.1. Ковариантными координатами вектор определяется однозначно.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Подставим в выражение
разложение вектора
из
(1.2). При
получим для
систему линейных уравнений:
(1.3)
Так как
- базис в
,
определитель
системы
(1.3):
по теореме 1.1,
где
.
Таким образом, контравариантные координаты вектора однозначно определяются ковариантными координатами .
Лемма 1.1 доказана.
Любые n линейно
независимых векторов
,
также образуют базис, в
,
который
будем называть новым базисом, а
- старым
базисом.
Разложим векторы нового базиса по старому базису:
или, сокращённо,
(правило
Эйнштейна!). (1.4)
Матрица
называется матрицей преобразования
базиса
: как
известно из курса линейной алгебры,
Обратный переход
(1.5.)
имеет матрицу
,
обратную матрице
:
(
- символы Кронекера),
.
П р е о б р а з о в а н и е к о о р д и н а т в е к т о р а п р и з а м е н е б а з и с а.
В формулу
подставим выражение для
из (1.4):
то есть
(1.6.)
Закон преобразования ковариантных координат тот же, что при преобразовании векторов базиса в (1.4), откуда их название - ковариантные, что значит "сопреобразующиеся".
В разложение
вектора
подставим выражение
через
из формулы
(1.5); получим
В силу единственности коэффициентов разложения вектора по базису, отсюда имеем
(1.7.)
Таким образом, преобразование контравариантных координат аналогично обратному преобразованию базиса (1.5), откуда название – контравариантные, что значит "противопреобразующиеся".
О б р а щ е н и е ф о р м у л п р е о б р а з о в а н и я.
Умножим формулы
(1.6) на
матрицу
;
получим,
что эквивалентно
то есть
.
Чтобы иметь полную
аналогию с
(1.7),
переобозначим "глухой" индекс
на
.
Окончательно получим
(1.8)
Аналогично,
умножением
(1.7) на
матрицу
,
получим
формулы перехода от новых контравариантных
координат к старым:
(1.9)
М е т р и ч е с к а я ф о р м а е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а .
Рассмотрим скалярное произведение векторов:
Обозначим
,
тогда
(1.10)
Числа
позволяют вычислять скалярное
произведение векторов
и
с помощью их контравариантных координат.
Квадратичную форму
называют метрической формой пространства
.
Элементы
её матрицы
называют ковариантными коэффициентами
метрической формы пространства (смысл
такой терминологии разъяснён в следующем
параграфе).
Покажем, что с помощью матрицы можно выразить ковариантные координаты вектора через контравариантные.
Подставим в формулу,
определяющие ковариантные координаты,
разложение вектора
по базису
:
получим
,
или
(1.11)
Переход от контравариантных координат вектора к ковариантным называют опусканием индекса. Покажем, что аналогично (1.11) можно выразить контравариантные координаты вектора через ковариантные, но с участием матрицы, обратной матрице .
Обозначим
элементы матрицы, обратной к
.
Умножим формулы
(1.11) на
матрицу
:
или, окончательно,
. (1.12)
Операцию перехода от ковариантных координат к контравариантным называют поднятием индекса, а элементы матрицы - контравариантными коэффициентами метрической формы пространства.
Отметим, что операция поднятия и опускания индексов позволяет получить следующие выражения для скалярного произведения векторов:
(1.13)