3. Плотность потока энергии волны. Вектор Умова
Выделим в среде,
в которой распространяется плоская
продольная волна, элементарный объем
V
= Sx,
с площадь поперечного сечения S
и длиной Δx,
в котором скорости движения частиц
и относительные деформации
в каждой точке объема неизменны. Частица
массой m
и объемом V
обладает кинетической энергией, равной
,
(9.10)
где
‑ плотность среды.
Используя уравнение плоской волны (9.9) s = Acos(t – kx), выражение (9.10) примет вид:
.
(9.11)
Выделенный объем V будет обладать потенциальной энергией упругой деформации на величину Δs, равной (см. формулу (3-28)):
.
(9.12)
В формуле (9.12) k
– коэффициент жесткости;
–
модуль Юнга;
‑
относительная деформация объема среды.
Для плоской волны
,
(9.13)
где
‑ волновое число. С учетом формулы
(9.13):
(9.14)
Поскольку фазовая
скорость волны
,
то
.
(9.15)
Выражения (9.11) и (9.15) показывают, что кинетическая и потенциальная энергия частиц волны меняются в одной фазе.
Полная энергия волны в объеме V будет равна
W = Wк + Wп = VA22sin2(t – kx). (9.16)
Из (9.16) следует, что энергия волны распространяется со скоростью упругой волны.
Разделив энергию W на объем V, в котором она содержится, получим плотность энергии волны
.
(9.17)
Поскольку среднее значение квадрата синуса равно 1/2, то среднее (по времени) значение плотности энергии в каждой точке среды будет равно
.
(9.18)
Выражение (9.18) справедливо для всех видов волн.
Вывод: среда, в которой возникает волна, обладает дополнительной энергией, поступающей от источника колебаний. Эта энергия передается в различные точки среды волной, т. е. волна переносит энергию.
Количество энергии dW, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф через поверхность. Размерность потока энергии совпадает с размерностью мощности, т. е. Дж/с. По определению:
.
Плотностью
потока
энергии волны
называется
вектор
,
направленный
в сторону распространения волны и
численно равный отношению потока энергии
dΦ,
сквозь малый элемент dS
поверхности
к площади dSn
проекции
этого элемента на плоскость, перпендикулярную
к направлению распространения волны:
.
Выразим плотность потока энергии через объемную плотность энергии w. Согласно определению, плотность потока энергии волны равна
,
(9.19)
где энергия dW = wdtdSn равна энергии, переносимой через попереч-
ное сечение параллелепипеда, dSn, перпендикулярное к направлению распространения волны. Объем данного параллелепипеда равен dtdSn (см. рис. 9.2).
Направление вектора
плотности потока энергии
совпадает с направлением скорости
распространения волны, т. е.
.
(9.20)
Таким образом, вектор плотности потока энергии волны равен произведению вектора скорости распространения энергии волны на величину ее объемной плотности. Вектор называется вектором Умова.
Из формул (9.18) и (9.19) следует, что объемная плотность энергии и плотность потока энергии синусоидальной волны пропор
Рис. 8-2
циональны квадрату амплитуды волны и квадрату частоты волны. Формула (9.20) справедлива для плотности потока энергии волн любого типа.