6 Этап.

Замечание 1.

Самой сложной является таблица 3 с точки зрения вычислений, однако при ее заполнение достаточно вычислить ее нижнюю часть, а потом переписать.

Замечание 2.

Если таблица 2 и 3 заполнены полностью, то из них можно получить решения каждого , но только кратного 40.

Пусть k₀ =160

Замечание 3.

При увеличениb количества предприятия следующее предприятие разумно обозначить 0-м и все таблицы просто расширятся вправо.

Замечание 4.

Окончательное решение задач не должно зависит от нумерации предприятий.

Замечание 5.

Для дискретной постановки может возникнуть несколько одинаковых с точки зрения целевой функции оптимальных решений может (в случае, если несколько одинаковых максимумов у )

Замечание 6.

Если функция дохода задана функционально, то непрерывную постановку свести к дискретной, задавшись определенным шагом соответствующей точности.

Но в этом случае, если количество точек дискретнотности >10 только с использованием компьютера.

Замечание 7.

Если функция дохода задана таблично, но требуется получить решение с меньшим шагом возможно:

1. провести интерполяцию всех функций дохода с использованием различных вариантов зависимости. Чаще всего:

   1. линейная:

   2. квадратичная:

и получить таблицу значений в промежуточных точках.

2. построить регрессионную модель для каждой функции дохода в виде или другие, при этом

Решение задачи распределения ресурсов методом Лагранжа.

Метод Лагранжа приспособлен для решения задач нелинейной оптимизации, для функции заданной во всей области определения и ограничения заданных в виде равенств:

(1)

Ограничения: (2)

Для использования м. Лагранжа необходимо, чтобы все функции и функция z имели бы непрерывные частные производные по каждой из непрерывных.

Метод состоит в введение специальных функций Лагранжа и множителей

Функции Лагранжа имеют вид:

(3)

Исходная задача нелинейной оптимизации 1 и 2 эквивалентна задачи безусловной оптимизации 3, но с увеличенным количеством переменных .

Для решения задачи 3 приравниваются к 0 все частные производные функции Лагранжа по каждой из своих переменных.

(4)

(5)

Полученная система, состоящая из (m+n) уравнений с (m+n) неизвестными в общем случае не линейна. Однако в некоторых случаях она может быть решена аналитически, что особо ценно.

Далее доказательство эквивалентно исходной задачи и формулам 4, 5.

Применим метод Лагранжа к задаче распределения ресурсов.

Рассмотрим случай, когда функция дохода имеет вид:

Тогда целевая функция

(1)

Ограничения:

Запишем функцию Лагранжа:

Запишем условия равенства нулю всех частных производных:

Получена система состояния из (n+1) уравнения с (n+1) неизвестными.

Возьмем первую группу уравнений, заменим l на i.

В этом уравнение левая часть заведомо положительная, а правая может быть положительна и отрицательна.

Поэтому при возведение в квадрат можно лишь получить дополнительное решение.

Возведем в квадрат и получим:

(3)

Просуммируем все уравнения и получим:

И, воспользовавшись вторым уравнением из 2, получим:

Подставим в 3 и получим:

Решая систему, мы могли лишь приобрести дополнительные решения при возведение в квадрат, для x они одни и те же, а для

Из двух решений подходит только положительное . Осталось это одно решение, как единственное подходящее.

Но исходная задача должна иметь решение. Следовательно, оно им и является. Не ясным остается только – минимумом или максимумом является найденное решение.

Для того, чтобы выяснить это, сравним найденное решение с каким-либо другим. Если целевая функция от найденного решения окажется больше, чем у какого-либо другого, следовательно, это максимум.

Сравним это решение с каким-либо другим:

Для него z(x) имеет вид:

Необходимо, чтобы первое значение целевой функции больше, чем второе, т.е.:

Получим (5)

5 является известным математическим неравенством.

Например, для n=2,

Пояснить корректность использования метода Лагранж в связи с тем, что присутствует и функция определена не на всей области значений x.