2. Задача по теме «Площадь боковой поверхности пирамиды».

Билет №11

1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и этой плоскости.

Дано: а┴р, а┴q, р α, q α, р q=О

Доказать: а┴α (а┴m)

Доказательство: 1) Когда а проходит через точку О: проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m, отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые р, q, l соответственно в точках Р, Q, L. Так как прямые р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, треугольник APQ = треугольнику BPQ по трем сторонам. Поэтому угол APQ=углу BPQ.

Сравним треугольники APL и BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AP=BP, PL – общая сторона, угол APL=углу BPL), поэтому AL=BL. Но это означает, что треугольник ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, то есть l┴a. Так как lǁm и l┴a, то m┴a (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая а перпендикулярна к любой прямой m плоскости α, то есть а┴α.

2) Когда а не проходит через точку О: проведем через точку О прямую а1 параллельную прямой а. По доказанному в первом случае а1┴α, значит а┴α.

Теорема: через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Дано: α, М α

Доказать: через точку М проходит прямая ┴ α, такая прямая только одна.

Доказательство: 1) проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскость β, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и есть искомая прямая, так как с┴b по построению и с┴а, так как β┴α.

2) Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая с1, перпендикулярная к плоскости α. Тогда с1ǁс, что невозможно, так как прямые с и с1 пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости α.

2. Задача по теме «Параллельность плоскостей».

Билет №12

1. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н – основание перпендикуляра.

АМ – наклонная, проведенная из точки А к плоскости α, а точка М – основание наклонной.

Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к этой плоскости.

Расстоянием от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называют расстоянием между параллельными плоскостями.

Расстоянием от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстоянием между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую, параллельную первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми

Теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Дано: α, АВ – наклонная, АО┴α, а α, В а, а┴ОВ

Доказать: а┴АВ

Доказательство: Рассмотрим (АОВ); а (АОВ)=В Так как а┴ОВ (по условию) и а┴АО (по определению прямой перпендикулярной плоскости), а АО ОВ => а┴(АОВ) Значит, а┴АВ, так как АВ (АОВ).

Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.