2. Задача по теме «Площадь боковой поверхности призмы».

Билет № 7

1. Параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей.

Две плоскости называются параллельными, если она не пересекаются.

Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости равны.

Дано: α и β. a, b α. a1, b1 β, a b=M, a1 b1, aǁa1, bǁb1 и aǁβ, bǁβ.

Доказать: αǁβ

Доказательство: 1) так как аǁа1, а1 β => aǁβ (признак параллельности прямой и плоскости). Аналогично: так как bǁb1, b1 β => bǁβ.

2) Предположим, что α не параллельна β, значит α β=с. И тогда α, проходя через прямую а, параллельную β, будет пересекать β по прямой с, которая параллельна а. Аналогично: сǁb. И тогда через точку М проходят две прямые, параллельные с, что невозможно.

2. Задача по теме «Правильная призма».

Билет №8

1. Свойства параллельных плоскостей

1 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Дано: αǁβ, α γ=а, β γ=b

Доказать: аǁb

Доказательство: а γ, b γ, а и b не пересекаются. Если бы а и b пересекались, то α и β имели бы общую точку, а это невозможно, так как αǁβ. Итак а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит аǁb.

2 Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны.

Дано: αǁβ, АС α, BD β, АВǁCD

Доказать: АВ=CD Доказательство: Плоскость γ, проходящая через параллельные прямые АВ и CD, пересекается с плоскостями α и β по параллельным прямым AC и BD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противоположные стороны попарно параллельны, то есть ABDC – параллелограмм. Нов параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому отрезки АВ и CD равны.

2. Задача по теме «Теорема о трех перпендикулярах»

Билет №9

1. Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности одной из двух параллельных прямых третьей прямой.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: аǁb, a┴c

Доказать: b┴с

Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как a┴c, то угол АМС=90.

По условию bǁа, а по построению аǁМА, поэтому bǁМА. Итак, прямые b и с параллельны соответственным прямым МА и МС, угол между которыми равен 90. Это означает, что угол между прямыми b и с тоже равен 90. То есть b┴с.

2. Задача по теме «Параллельные плоскости»

Билет №10

1. Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: аǁа1, а┴α

Доказать: а1┴α

Доказательство: проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а┴α, то а┴х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1┴х. таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, то есть а1┴α.

Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: а┴α, b┴α

Доказать: аǁb

Доказательство: Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. Значит, b1┴а. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что bǁа. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку ┴ проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно аǁb.