2. Задача по теме «Площадь поверхности пирамиды».

Билет №4

1. Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.

План:

1 Расположение прямой и плоскости.

2 Определение прямой параллельной плоскости.

3 Признак прямой параллельной плоскости.

4 Следствия из признака.

1 а)Прямая лежит в плоскости

б)Прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются.

в)Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

2 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

3 Теорема: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и данной плоскости.

Дано: α, b α, bǁа, а не лежит в α

Доказать: аǁα

Доказательство: предположим, что а α=М, тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми b α. Но b α, значит это невозможно. Поэтому аǁα.

4 а) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Дано: аǁα, α β=b

Доказать: bǁа

Доказательство: а β и b β, а не пересекается с b => bǁа

б) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо так же параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

2. Задача по теме «Перпендикуляр и наклонная».

Билет № 5

1. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые называются скрещивающимися.

Дано: а, b, b α=K, К α

Доказать: а и b – скрещивающиеся

Доказательство: предположим, что они не скрещивающиеся, значит, а и b образовали β. Получили, что β проходит через прямую а и точку пересечения К. β=α => b α, что противоречит условию β α => а и b – скрещивающиеся.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

• Прямые пересекаются (имеют только одну общую точку)

• Прямые параллельны (лежат в одной плоскости и не пересекаются)

• Прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости)

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и при том только одна.

Дано: АВ и СD – скрещивающиеся, АВ α

Доказать: αǁCD

Доказательство: проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая CD не лежит в плоскости α и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD параллельна плоскости α.

2. Задача по теме «Прямоугольны параллелепипед»

Билет №6

1. Угол между прямыми теорема об углах с сонаправленными сторонами.

Любая прямая, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемыми полуплоскостями.

Эта прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Два луча ОА и О1А1, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОО1.

Теорема: Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Дано: угол О, угол О1

Доказать: угол О=углу О1

Доказательство: Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла О1 отрезки О1А1=ОА и О1В1=ОВ. Так как лучи ОА и О1А1 сонаправлены и ОА=О1А1, то получится параллелограмм ОаАА1О1 и, следовательно, АА1ǁОО1 и АА1=ОО1. Аналогично получаем: ВВ1ǁОО1 и ВВ1=ОО1. Отсюда следует, что АА1=ВВ1 и АА1ǁВВ1, значит, АВВ1А – параллелограмм и АВ=А1В1. Сравним теперь треугольники АОВ и А1О1В1. Она равны по трем сторонам, значит, угол О=углу О1.

Угол α между двумя пересекающимися прямыми – это тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. 0 < α ≤ 90

Пусть АВ и CD – две скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку М1 проведем прямые А1В1 и С1D1, соответственно параллельные прямым АВ и CD.

Если угол между прямыми А1В1 и C1D1 равен f, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен f.