43

1. Цепи постоянного тока.

Задача1. Для разветвлённой цепи электрической цепи, пользуясь законами Кирхгофа, определить токи во всех ветвях.

R₄ Б R₃

I₄ I₃

I_I I_II

E₁; R′₀ I₅ R₅ E₂; R″₀

I₁ I₂

R₁ А R₂

Рис. 1.1

1.1 Первый метод расчета

1. Задаёмся произвольным направлением токов.

2. Для узла А: по первому закону Кирхгофа - число уравнений для узла А (*А) равно числу узлов без единицы

∑I_*А = 0; I₅ - I₁ - I₂ = 0. (1)

3. Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа (выбираем контуры с меньшим числом ЭДС и сопротивлений; указываем произвольно направление обхода контура).

4. Значение ЭДС записываем в левой части уравнений. Положительным, если их направления совпадают с направлением обходом контура. Если нет – отрицательным.

5. Аналогично, падение напряжения на участках записывается положительным в правой части уравнения, если направление тока данного участка совпадает с направлением обхода контура.

E₁ = I₁R₁ + I₁R′₀ + I₁R₄ + I₅R₅; (2)

E₂ = I₂R₂ + I₂R″₀ + I₂R₃ + I₅R₅; (3)

Все уравнения (1), (2), (3) решаются совместно и определяются токи на участках цепи.

6. I₅ = I₁ + I₂; (1)

E₁ = I₁ (R₁ + R′₀ + R₄) + I₅R₅; (2)

E₂ = I₂ (R₂ + R″₀ + R₃) + I₅R₅; (3)

7. Подставляем цифровые значения по варианту задания.

E₁ = 55 В

E₂ = 70 В

R′₀ = 0,11 Ом

R″₀ = 0,2 Ом

R₁ = 6 Ом

R₂ = 4 Ом

R₃ = 20 Ом

R₄ = 12 Ом

R₅ = 6 Ом

55 = I₁ (6 + 0,11 + 12) + I₅•6;

70 = I₂ (4 + 0,2 + 20) + I₅•6;

55 = 18,11I₁ + 6I₅;

70 = 24,2I₂ + 6I₅;

55 = 18,11I₁+6I₁ + 6I₂ = 24,11I₁+6I₂;

70 = 24,2I₂ + 6I₁+6I₂ = 30,2I₂ + 6I₁;

6I₁ = 70 – 30,2I₂;

I₁ = 11,7 – 5I₂.

55 = 24,11 (11,7 – 5I₂) + 6I₂ = 282,1 – 120,6I₂ + 6I₂;

114,6I₂ = 227,1;

I₂=227,1꞉114,6=1,98 [А]

I₁ = 11,7 – 5•1,98 = 1,8 [A]

I₅ = 1,98 + 1,8 = 3,78 [A].

Проверка решения задачи.

Для узла Б: I₄ + I₃ = I₅

1,8 + 1,98 = 3,78 [A]

Ответ: I₁ = 1,8 [A]

I₂ = 1,98 [A]

I₃ = I₂ = 1,98 [A]

I₄ = I₁ = 1,8 [A]

I₅ = 3,78 [A].

2. Второй метод расчета Метод контурных токов

Основан на применении второго закона Кирхгофа.

1. Сложная электрическая цепь разбивается на элементарные контуры и каждому контуру присваивается свой контурный ток и обозначаются произвольно их направления (I_I, I_II).

2. На участках двух смежных контуров протекают 2 тока: Ток I_I по R₅ и I_II по R₅. Результирующий ток определится как их сумма при согласном направлении и как разность при встречном направлении.

3. Для каждого контура составляют уравнения по второму закону Кирхгофа и, решая их совместно, определяют контурные токи, а затем и действительные их значения на участках цепи.

Для первого контура:

I E₁ = I_IR₁ + I_IR′₀ + I_IR₄ + I_IR₅ + I_IIR₅ = I_I (R₁ + R′₀ + R₄ + R₅) + I_IIR₅;

Для второго контура:

II E₂ = I_IIR₂ + I_IIR″₀ + I_IIR₃ + I_IIR₅ + I_IR₅ = I_II (R₂ + R″₀ + R₃ + R₅) + I_IR₅;

55 = I_I (6 + 0,11 + 12 + 6) + I_II•6;

55 = 24,11I_I + 6I_II;

70 = I_II (4 + 0,2 + 20 + 6) + I_I•6;

70 = 30,2I_II + 6I_I → 6I_I = 70 – 30,2I_II;

I_I = 11,7 – 5I_II.

55 = 24,11 (11,7 – 5I_II) + 6I_II;

55 = 282,1 – 120,55I_II + 6I_II;

114,55I_II = 227,1;

I_II = 227,1:114,55 = 1,98 [A].

I_I = 11,7 – 5•1,98 = 1,8[A]

I₁ = I_I = I₄ = 1,8 [A]

I₅ = I_I + I_II = 1,8+1,98=3,78 [A]

I₂ = I_II = I₃ = 1,98 [A]

Проверка решения задачи.

Для узла Б: I₂ + I₄ = I₅

1,98 + 1,8 = 3,78 [A].

Ответ. I₁ = 1,8 [A]

I₂ = 1,98 [A]

I₃ = I₂ = 1,98 [A]

I₄ = I₁ = 1,8 [A]

I₅ = 3,78 [A].

Достоинства II метода: метод контурных токов позволяет при решении задач исключить одно уравнение.