43

1. Цепи постоянного тока.

Задача1. Для разветвлённой цепи электрической цепи, пользуясь законами Кирхгофа, определить токи во всех ветвях.

R₄ Б R₃

I₄ I₃

I_I I_II

E₁; R′₀ I₅ R₅ E₂; R″₀

I₁ I₂

R₁ А R₂

Рис. 1.1

1.1 Первый метод расчета

1. Задаёмся произвольным направлением токов.

2. Для узла А: по первому закону Кирхгофа - число уравнений для узла А (*А) равно числу узлов без единицы

∑I_*А = 0; I₅ - I₁ - I₂ = 0. (1)

3. Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа (выбираем контуры с меньшим числом ЭДС и сопротивлений; указываем произвольно направление обхода контура).

4. Значение ЭДС записываем в левой части уравнений. Положительным, если их направления совпадают с направлением обходом контура. Если нет – отрицательным.

5. Аналогично, падение напряжения на участках записывается положительным в правой части уравнения, если направление тока данного участка совпадает с направлением обхода контура.

E₁ = I₁R₁ + I₁R′₀ + I₁R₄ + I₅R₅; (2)

E₂ = I₂R₂ + I₂R″₀ + I₂R₃ + I₅R₅; (3)

Все уравнения (1), (2), (3) решаются совместно и определяются токи на участках цепи.

6. I₅ = I₁ + I₂; (1)

E₁ = I₁ (R₁ + R′₀ + R₄) + I₅R₅; (2)

E₂ = I₂ (R₂ + R″₀ + R₃) + I₅R₅; (3)

7. Подставляем цифровые значения по варианту задания.

E₁ = 50 В

E₂ = 65 В

R′₀ = 0,1 Ом

R″₀ = 0,15 Ом

R₁ = 4 Ом

R₂ = 3 Ом

R₃ = 15 Ом

R₄ = 8 Ом

R₅ = 4 Ом

50 = I₁ (4 + 0,1 + 8) + I₅•4;

65 = I₂ (3 + 0,15 + 15) + I₅•4;

50 = 12I₁ + 4I₅;

65 = 18,15I₂ + 4I₅;

50 = 12I₁ + 4I₁ + 4I₂ = 16I₁ + 4I₂;

65 = 18,15I₂ + 4I₁ + 4I₂ = 22,15I₂ + 4I₁;

4I₁ = 65 - 22,15I₂;

I₁ = 16,25 – 5,5I₂.

50 = 16 (16,25 – 5,5I₂) + 4I₂ = 260 - 88I₂ + 4I₂;

84I₂ = 260 - 50 = 210;

I₂ = 210꞉54=2,5 [А]

I₁ = 16,25 – 5,5•2,5 = 2,5 [A]

I₅ = 2,5 + 2,5 = 5 [A].

Проверка решения задачи.

Для узла Б: I₄ + I₃ = I₅

2,5 + 2,5 = 5 [A]

Ответ: I₁ = 2,5 [A]

I₂ = 2,5 [A]

I₃ = I₂ = 2,5 [A]

I₄ = I₁ = 2,5 [A]

I₅ = 5 [A].

2. Второй метод расчета Метод контурных токов

Основан на применении второго закона Кирхгофа.

1. Сложная электрическая цепь разбивается на элементарные контуры и каждому контуру присваивается свой контурный ток и обозначаются произвольно их направления (I_I, I_II).

2. На участках двух смежных контуров протекают 2 тока: Ток I_I по R₅ и I_II по R₅. Результирующий ток определится как их сумма при согласном направлении и как разность при встречном направлении.

3. Для каждого контура составляют уравнения по второму закону Кирхгофа и, решая их совместно, определяют контурные токи, а затем и действительные их значения на участках цепи.

Для первого контура:

I E₁ = I_IR₁ + I_IR′₀ + I_IR₄ + I_IR₅ + I_IIR₅ = I_I (R₁ + R′₀ + R₄ + R₅) + I_IIR₅;

Для второго контура:

II E₂ = I_IIR₂ + I_IIR″₀ + I_IIR₃ + I_IIR₅ + I_IR₅ = I_II (R₂ + R″₀ + R₃ + R₅) + I_IR₅;

50 = I_I (4 + 0,1 + 8 + 4) + I_II•4;

50 = 16,1I_I + 4I_II;

65 = I_II (3 + 0,15 + 15 + 4) + I_I•4;

65 = 22,15I_II + 4I_I → 4I_I = 65 - 22,15I_II;

I_I = 16,25 – 5,5I_II;

50 = 16,1 (16,25 – 5,5I_II) + 4I_II;

50 = 261,6 – 88,55I_II + 4I_II;

84,55I_II = 211,6;

I_II = 211,6 : 84,55 = 2,5 [A].

I_I = 16,25 – 5,5•2,5 = 2,5[A]

I₁ = I_I = I₄ = 2,5 [A]

I₅ = I_I + I_II = 5 [A]

I₂ = I_II = I₃ = 2,5 [A]

Проверка решения задачи.

Для узла Б: I₂ + I₄ = I₅

2,5 + 2,5 = 5 [A].

Ответ: I₁ = 2,5 [A]

I₂ = 2,5 [A]

I₃ = I₂ = 2,5 [A]

I₄ = I₁ = 2,5 [A]

I₅ = 5 [A].

Достоинства II метода: метод контурных токов позволяет при решении задач исключить одно уравнение.