3. Расчет балки с перфорированной стенкой

Задание 3.1 Определить размеры прогона пролетом 12 м. Климатический район II₄. Снеговой район - 4. Расчетная нагрузка от ограждающих конструкций и снега - 22 кН/м, нормативная -15,5 кН/м. Расчет производится по СНиП II-23-81*. Коэффициент условий рабо­ты γ_с - 1. Шаги расчета взяты по таблице 1.

1. Принимается несимметричное бистальное двутавровое сечение с перфорированной стенкой, рез типа IV. Исходные двутавры типа Б по ТУ 14 – 2 – 4 – 72.

2. Принимается для нижнего пояса сталь марки 09Г2С-6 (ГОСТ 19282-73)*, для верхнего пояса – ВСт3сп5-1 (ТУ 14-1-3023 – 80 ). Для толщины 10 мм - R_у1 = 250 МПа, R_s1 = 145 МПа, R_u1 = 370 МПа; до 20мм - R_у1 = 240 МПа; до 9 мм - R_у2 = 330 МПа; R_s2 = 191 МПа; R_u2 = 465 МПа; до 20 мм - R_у2 = 310 МПа. Для ребер жесткости берется сталь марки ВСт3пс6-1.

3. Определяется высота балки по условию жесткости при [f / 1] = 1/250

σ_нf = 310 · (15,5 / 22) = 218 МПа,

h_r = 5 · 218 · 250 · 1200 · 1,05 / (24 · 2,06 · 10⁵) ≥ 70см

Шаги 4 и 5 опускаются (см. табл. 1).

6. Принимаются v = 0,25, участок с = 250 мм, расчетный участок выпущенных опорных швеллеров - 200 мм. Число отверстий - 28. Тогда по условию:

2 · 250 + 28s + e = 12000 – 2 · 200, где s = 2 (а + е). Тогда 56а + 57е = 11100.

Принимается а = 130 мм, е = 67 мм. Шаг 7 опускается.

8. Для опирания балок предусматриваются швеллеры (рис. 4).

Рис. 4. Размеры балки

9. Принимается А_f1 / А_f2 ≈ R_у1 / R_у2 = 240 / 310 = 0,806. Выбирается плечо внутренней пары v = 0,95h; v = 65 см. Тогда по формуле:

А_f1 = M_max / (υR_у1γ_c); А_f2 = M_max / (υR_у2γ_c);

А_f1 = 396 · 10² · 10 / (65 · 240) = 25,4см²; А_f2 = 0,806 · 25,4 = 20,5 см².

По формуле:

W_0,f1 ≈ 0,65 А_f1· υ; W_0,f2 ≈ 0,55 А_f2· υ;

W_0,f1 = 0,65 · 25,4 · 65 = 1073 см³; W_0,f2 = 0,55 · 20,5 · 65 = 733 см³.

По сортаменту двутавров с параллельными полками принимают­ся: для верхнего пояса - исходный двутавр 45Б1, для нижнего - 40Б1. Характеристики поясов: А_f1 = 28,7 см²; W_0,f1 = 1110 см³; А_f2 = 23,3 см²; А_f2 = 799 см³. Эти двутавры входят в сокращенный сортамент профи­лей:

Определяются необходимые геометрические характеристики всего сечения (рис. 4): W_f1min = 25,5 см³; W_f1max = 113 см³; W_f2min = 18,1см³; W_f2max = 80,8 см³; I_f1 = 230 см⁴; I_f2 = 145 см⁴. Положение оси центра тя­жести относительно верхней полки

х = (28,7 · 2,04 + 23,3 · 61,51) / (28,7 + 23,3) = 28,7 см.

Момент инерции I_x = 230 + 145 + 28,7 · 26,66² + 23,3 · 32,81² = 45845 см⁴.

10. Проверка прочности производится в трех местах: в зоне первого отверстия у опоры, в середине пролета, в местах наибольших нормальных напряжений по формулам:

В зоне первого отверстия - х = 0,58 м, М = 72,8 кН · м; Q = 119,2кН;

Ошибка! Ошибка связи.

В середине балки, в зоне 14-го отверстия, х = 5,8 м, М = 395,6кН · м, Q ≈ ≈ 0:

σ₁ = 242,2 ≈ R_у1γ_c = 240 МПа; σ₂ = 160,8 < R_u1γ_c / γ_u = 285МПа;

σ₃ = 298,3 < R_у2γ_c = 310 МПа; σ₄ = 214 < R_u2γ_c / γ_u = 385 МПа.

Сечения с наибольшими нормальными напряжениями определя­ются по формуле:

х = l · (2 – B₁) / 4

Результаты расчета представлены в таблице 4.

Таблица 4.

Точка	σм, Мпа	σQ, Мпа	В	х, м	М, кН ·м	σ, Мпа	Ry
1	247,5	46,5	0,19	5,43	392,5	250	240
2	161,5	205,5	1,27	2,19	233,6	285	285
3	298,6	40,9	0,14	5,53	392,5	300	310
4	214,3	183,4	0,86	3,42	322,8	253,6	358

Проверка прочности первой перемычки на сдвиг при Q₃ = 114,8 кН по формуле:

τ = Q₃s / (t_wav) ≤ R_sγ_c

τ₁ = 114,8 · 10 · 39,4 / (59,5 · 0,76 · 13) = 76,9 < R_s1γ_c = 145 МПа,

τ₂ = 114,8 · 10 · 39,4 / (59,5 · 0,68 · 13) = 86 < R_s2γ_c = 191 МПа.

Проверка жесткости балки:

Проверка местной устойчивости стенки таврового пояса по фор­муле:

b_f / h_f.ef = 180/81 = 2,2; h_f.ef = h_f - t_f - r = 110,3 – 11 – 18 ≈ 81;

h_f.ef / t_w = 81 / 7,6 = 10,6;

- местная устойчивость обеспече­на.

Расход стали на балку - 645 кг. Экономия стали по сравнению с дутавром с R_y = 240 МПа (50Б2) - 29%, с двутавром с R_у = 310 МПа (45Б2) - 15,4% (без учета требований жесткости для обычных двутавров).

Задание 3.2 Определить размеры сечения и других элементов стропильной двутавровой балки в покрытии производственного здания пролетом 24 м. Балка свободно оперта на колонны. Климатический район II₄, снеговой район - 4. Расчетная нагрузка на 1 м от ребристых стальных плит с утеплителем (ширина 3м) - 26 кН, временная - 27 кН (снеговая нагрузка на всем пролете), суммарная - 53 кН, нормативная - 39 кН. Эпюры М и (2 показаны на рис.2. Расчет приводится по теории составных стержней. Шаги взяты из таблицы 1.

1. Принимается симметричное моностальное двутавровое сечение с перфорированной стенкой. Исходный двутавр - типа Б по ТУ 14 - 2 - 24 - 72. Рез - несимметричный типа IV.

2. Принимается сталь марки 09Г2С (ГОСТ 19282-73*): для тол­щины до 20 мм R_у = 310 МПа, R_s = 191 МПа, R_u = 465 МПа; для толщины до 32 мм R_y = 290 МПа; для ребер жесткости – ВСт3пс6 - 1.

3. Определяется высота балки по условию жесткости при [f / l] = 1 / 250, σ_нf = 214МПа:

h_r = 5 · 214 · 250 · 1,05 · 2400 / (24 · 2,06 · 10⁵) ≥ 138 см; принимается высота 150 см. Шаги 4 и 5 опускаются.

6. Принимается v = 0,25. Так как на балку опираются ребристые плиты, то должно выполняться условие sn₁ = l₁ где l₁ = 3000 мм - ши­рина плиты. Принимается три отверстия на этом участке. Ребра плиты должны опираться на перемычки, т.е. 3 · 2 (а + е) = 3000 или а + е = 500 мм. Принимаем а = 330 мм, е = 170 мм. На концевых участках мо­гут разместиться только по два отверстия (рис. 5). Шаг 7 пропускается.

Рис. 5. Размеры балки и фланца

8. Опорные ребра жесткости и стык принимается в середине пролета.

9. По данным табл. 5 и формулам

А₀ ≈ (М / β + Qа / (4ρ_f1)) / (R_уγ_cα₀h);

M / (βhA_f) + Qa / (4ρ_f2hA_f) ≤ R_uγ_c / γ_u;

А₀ ≈ (М / β + Qа / (4ρ_f2)) γ_u / (R_uγ_cα₀h).

для сечения у отверстия на расстоянии х =10,5м от опоры М =3756 кН-м;

Q = 159кН:

А₀ = [3756 · 10³ / 0,93 + 159 · 10 · 33 / (4 · 0,059)] / (290 · 150 · 0,36) = 272 см²;

А₀ = [3756 · 10³ / 0,93 + 159 · 10 · 33 / (4 · 0,016)] · 1,3 / (456 · 150 · 0,36) = 263 см².

Принимается двутавр по сокращенному сортаменту профилей 100Б1 с A₀ = 289 см², h = 1,5 · 100 = 150см.

Вычисляются геометрические характеристики для поясов и сече­ния:

A_f =106 см²; I_f = 4930см⁴; W_fmax = 961 см³;

W_fmin = 255 см³; h_f = 245 мм; z = 19,4см;

v = 2 · (745 – 51,3) = 138,74см; h = 150 см;

I_x =2 · (4930 + 106 · 69,37²) = 1030046см⁴;

α = 10300461 / (2 · 4930) = 104,5; ψ ≈ 1 / 104,5 = 0,9904.

10. Определяется сечение с наибольшим напряжением σ₁, по формуле:

σ_1max = σ_M1 (1 +B₁² / 4)

σ_Q1max = 636 · 10 · 33 / (4 · 961) = 54,6 МПа,

σ_M1max = 3816 · 10³ · 75 / 1030046 = 277,9 МПа;

В₁ = 54,6 / 277,9 = 0,196; х₁ = 24(2 · 0,196 / 4) = 10,82 м.

Сечение с наибольшим напряжением σ₁:

σ_Q2max = 636 · 10 · 33 / (4 · 255) = 205,8 Мпа;

σ_M2max = 3816 · 10 · 50,5 / 1030046 = 187,1 МПа;

B₂ = 205,8 / 187,1 = 1,1; х₂ = 24 (2 · 1,1 / 4) = 5,4 м.

Проверка прочности по напряжению а\ производится по форму­ле:

σ₁ = ψМ / (vА_f) + [Qа / 4 + 0,5М · (1 - ψ)] / W_fmax ≤ R_уγ_c;

ближайшее отверстие на расстоянии 10,5 м;

М = 3156кН · м; Q = 159кН;

σ₁ = 3756 · 10³ · 0,9904 / (138,74 · 106) + [159 · 10 · 33 / 4 + 3756 · 10³ / (2 · · 104,5) / 961 = 252,9 + 32,3 = 285,2 < R_уγ_c = 290 МПа.

Проверка прочности по напряжению σ₂ производится по форму­ле:

σ₂ = ψМ / (vА_f) + [Qа / 4 + 0,5М · (1 - ψ)] / W_fmin ≤ R_uγ_c / γ_u;

ближайшее отверстие - на расстоянии 5,5 м; М = 2325 кН · м; Q = 477 кН;

σ₂ = 2325 · 10³ · 0,9904 / (138,74 · 106) + [477 · 10 · 33 / 4 + 3118 ·10³ / (2 · · 104,5)] / 255 = 156,5 + 95,7 = 252,2 < R_уγ_с / γ_u = 465 / 1,3 = 357,6 МПа.

Проверка прочности первой перемычки на сдвиг по формуле:

τ = Q₃ / (t_wav) ≤ R_sγ_с

τ = 636 · 10 · 100 / (1,6 · 33 · 138,74) = 92,5 < R_sγ_с = 191 МПа

Проверка пояса в первом отверстии на сдвиг по формуле:

τ_f = β_fQ / (2h_ft_w) ≤ R_sγ_с

коэффициент рг из табл. 5 равен 1,5;

τ = 1,5 · 636 · 10 / (2 · 1,6 · 24,5) = 129,7 < R_sγ_с = 191 МПа.

Проверка прочности перемычки от сосредоточенной нагрузки F = 3 · 53 = = 159 кН (длин опорной площадки ребер 2 · 16 см):

l_ef = 2 · 16 + 2,1 = 34,1 см;

σ_loc = 159 · 10 / (1,6 · 34,1) = 29 < R_yγ_с = 310 Мпа – по этому условию поперечные ребра не нужны.

Проверка жесткости балки:

Проверка местной устойчивости стенки таврового пояса по фор­муле:

h_f.ef = 245 · 21 · 30 = 194мм; b_f / h_f,ef = 320 / 194 = 1,65;

h_f.ef / t_w = 194 / 16 = 12,1 < 13,3.

Проверка местной устойчивости перемычки по формулам:

τ / τ_cr ≤ γ_c

α = 33 / (2 · 50,5) = 0,327;

k = (0,7 + 5 · 0,327²) / 0,327 = 3,78;

τ_cr = 0,4 · 3,78 · 191 / [(1 - 2 · 0,25)² 2,4²] = 1,05R_s = 200 МПа

τ = 129,7 < τ_crγ_с - местная устойчивость перемычки обеспечена. 12. Проверка местной устойчивости стенки на опоре. Ребро необ­ходимо, если h_f.ef / t_w = > 40; h_f.ef = 1500 · 2 · 21 · 2 · 30 = 1398; h_f.ef / t_w = 1398 / 15,5 = 90. Из расчета видно, что опорное ребро необхо­димо, кроме того, оно выступает в роли диафрагмы.

Расход металла на балку: сталь 09Г2С - 5868 кг, ребра - 11 7 кг, всего 5985 кг. Обычная сварная двутавровая балка - 6054 кг. Экономия в балке с перфорированной стенкой - 1,1%.

Задание 3.3 Определить размеры фланцевого стыка в середине пролета (М = 3816 кН · м). Расчет ведется с учетом развития пластиче­ских деформаций во фланце.

1. Размеры сечения балки и фланца представлены на рис.2, б. Принимается для фланца сталь 14Г2АФ-15 по ТУ 14-105-465-82 при толщине до 50 мм R_у,fl = 370 МПа. Принимаются высокопрочные болты М24 по ГОСТ 22353-77* из стали 40Х «Селект», диаметр болта 24 мм; площадь сечения болта нетто A_bn = 3,52 см², R_bun = 1100 МПа; R_bh = 0,7R_bun = 770 МПа, R_th = 0,5R_un = 270 МПа.

2. Устанавливается количество болтов в зоне растянутого пояса по формуле:

n_min = M / (vN_b)

Несущая способность одного болта N_b = 770 · 3,52 · 0,9 / 10 = 244 кН; n = = 3810 / (244 · 1,479) = 10,5 болтов. Минимальное расстояние между болтами - 2,5d = 60 мм; минимальное расстояние до кромки – 1,3d = 32мм, но принимается равным 55 мм для обеспечения разгружающего рычажною эффекта. Из конструктивных соображений в зоне растянуто­го пояса размещается 12 болтов. По высоте расстояние между болтами (рис. 5. б) принимается близким к максимальному (16d = 384 мм).

3. Расчет фланца: α = 32 · 2,1 / (1,6 · 145,8) = 0,288;

β₁ = 1,6 / 2,1 = 0,762. Швы, прикрепляющие фланец к балке, - стыковые:

у стенке и полки разделка с двух сторон:

l_e.f = 90 – 21 – 0,5 · 24 = 57мм; l_e.w = 90 –16 – 0,5 · 24 = 62 мм;

k₁ = 57 /62 = 0,92; ψ₀ = 0,288 + 0,25 = 0,538;

ψ = 3816 · 10³ / (370 · 1,6 · 147,9²) = 0,295;

ω = 0,295 / 0,538 = 0,548; ω_λ = (0,288 · 0,762 + 0,5) / 0,538 = 1,337;

λ = 0,92 / 0,762 = 1,21; ω_max = 1;

ω_ξ=0 = (0,288² + 0,5 · 1,21 · 0,288) / (0,538 · (0,288 +1,21)) = 0,319;

ξ = 0,5 · (0,548 – 0,319) / (1 – 0,319) = 0,168;

v_f = (0,288 + 0,168) / (0,288 + 1,21 – 1,21 · 0,168) = 0,352;

v_ω = 1,21 · 0,352 = 0,426.

Далее по формулам:

t_fl = kt_fl.0,

где

ψ_v = t_f [b_f + 0,5λβ_t (1 - ξ)υ];

ψ_T = 4b_fl / l_e.f + 1,5k_e / k_hl;

k_hl = l_e.f / (1 - ξ)υ;

δ_R = R_y.fl / R_y;

ψ_v = 2,1 · [32 + 0,5 · 1,21 · 0,762(1 - 0,168)147,9] = 186,3 см²;

k_hl = 5,7 / ((1 - 0,168) · 147,9) = 1 / 21,6;

ψ_T = 4 · 34 / 5,7 + 1,5 · 0,92 · 21,6 = 53,66; δ_R = 370 / 290 = 1,276;

Коэффициент k = 1,07 по табл. 6, t_fl = 1,39 · 1,07 = 1,49 см. Мини­мальная толщина фланца - 16 мм, если допустить в нем развитие пла­стических деформаций. Принимается толщина 25 мм.

4. Проверка прочности болтов:

усилия в болтах внутренней зоны:

N_bf = 0,352 · 290 · 2,1 · 32 / (12 · 10) = 57,2 кН;

N_bw = 0,5 · 0,426 · 290 · 1,6 · 11 / 10 = 108,7 кН;

N_bв = 57,2 + 108,7 = 165,9 кН;

N_bv = 0,21 · 11 · 0,838 · 770 = 149 кН;

k_N = 0,838 при фланце 25мм по табл. 6;

усилия в болтах наружной зоны:

N_bн = 57,2 + 149 = 206,2 кН, или N_bн = 108,7 + 149 = 257,7 кН;

N_bdв = 165,9 · 0,13 = 21,6 кН; χ = 0,13; N_bdн = 257,7 · 0,13 = 33,5 кН.