1.5.3.Пример построения конечного автомата
Построим конечный автомат, допускающий строку ababaca. Поскольку длина образца m = 7 символов, то в автомате будет m + 1 = 8 состояний.
Найдем функцию переходов . В соответствии с определением (1), (q, a) = (Рqа), где — префикс-функция, а — произвольный символ из алфавита , q — номер состояния. Таким образом, необходимо для каждого префикса Pq = P[0..q], q = 0 .. m образца Р и для всех символов а входного алфавита найти длину максимального префикса Р, который будет являться суффиксом строки Рqа. Длина этого префикса и будет значением функции переходов (q,a). Если а = P[q + 1] (очередной символ текста совпал со следующим символом образца), то Рqа = Рq+1 и (q, a) = q+1.
Такой случай соответствует успешным этапам поиска. Иначе, (q,a) q. Например, для префикса Р[0..5] = ababa и символа b максимальным суффиксом строки Р[0..5]b=ababab, который одновременно является префиксом Р, будет abab. Его длина равна 4, поэтому значение функции переходов (5, b) = 4.
Запишем построенную таким образом функцию переходов в виде таблицы (Табл. 1):
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
a |
1 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
7 |
1 |
b |
0 |
2 |
0 |
4 |
0 |
4 |
0 |
2 |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
Строки соответствуют входным символам, столбцы — состояниям автомата. Ячейки, соответствующие успешным этапам поиска (входной символ совпадает со следующим символом образца), выделены серым цветом.
Построим по таблице граф переходов автомата (Рис. 1), распознающего образец ababaca. Находясь в состоянии q и прочитав очередной символ а, автомат переходит в состояние (q,a). Обратим внимание, что его остов помечен символами образца (эти переходы выделены жирными стрелками).
Рис. 1
Здесь 0 — исходное состояние, 7 — единственное допускающее состояние (зачернено). Если из вершины i в вершину j ведет стрелка, помеченная буквой а, то это означает, что (i,a) = j. Отметим, что переходы, для которых (i,a) = 0, на графе переходов для его упрощения не обозначены. Жирные стрелки, идущие слева направо, соответствуют успешным этапам поиска подстроки Р — следующий входной символ совпадает с очередным символом образца. Стрелки, идущие справа налево, соответствуют неудачам — следующий входной символ отличается от очередного символа образца.
Ниже приведен результат применения автомата к тексту Т = abababacaba. Под каждым символом Т[г] записано состояние автомата после прочтения этого символа (иными словами, значение (Тi)) (Табл. 2).
Найдено одно вхождение образца (начиная с позиции 3). Найденный образец в тексте помечен серым цветом. Черным цветом помечено допускающее состояние автомата (состояние с номером 7).
1.6 Специфические алгоритмы
1.6.1 Турбо - обращение сегмента
Этот алгоритм является улучшением алгоритма обращенного сегмента уменьшающим наибольшее число сравнений до 2*n. В самом деле, достаточно запомнить префиксu (x), который совпал во время прошлой попытки. Тогда во время текущей попытки при достижении правого конца u, легко доказать, что достаточно прочитать заново не более, чем правую половину u. Это и заложено в алгоритме турбо-обращения сегмента. Пусть слово z - сегмент слова w.
Oпределим смещение disp( z, w) - от англ. displacement как положительное целое число, такое что
w [ m - d - |z| - 1 , m - d ] = z.
Типичная для TRF-алгоритма ( Turbo Reverse Factor - о чем мы говорим) ситуация возникает, когда префикс u был найден при прошлой попытке, а сейчас алгоритм пытается сравнить сегмент v длины m - |u| с текстом сразу справа за u. Точка между u и v называется 'точкой принятия решения'. Если v не является сегментом x, то сдвиг вычисляется, как в простом алгоритме обращенного сегмента. Если v - суффикс x, тогда мы нашли x, а если v - не суффикс, но сегмент x, то достаточно просмотреть заново min( per( u ) , |u| / 2 ) правых символов u. Если u - периодичное ( т.е per( u ) <= |u| / 2 ), то пусть z - суффикс u длины per( u ). По определению периода, z - непериодичное слово, а значит следующее наложение невозможно:
Таким образом, z может появиться в u лишь на расстоянии, кратном per( u ), и следовательно, наименьший подходяший суффикс uv, являющийся префиксом x имеет длину |uv| - disp( zv , x ) = m - disp( zv , x ), значит, длину сдвига можно положить равной disp( zv , x ). Если u - не периодичное: per( u ) > |u| / 2, то очевидно, что x не может появиться второй раз в левой части u длины per( u ). А значит, достаточно будет просмотреть правую часть u длины |u| - per( u ) < |u| / 2, чтобы найти неопределенный переход автомата. Функция disp реализована непосредственно в автомате S( x ) без увеличения сложности его построения. Турбо алгоритм обращения сегмента производит в худшем случае 2*n сравнений и в среднем оптимален.