V. Решение задач по экологии с помощью компьютера

 В последнее время интерес к решению экологических задач с использованием компьютера стремительно растет не только у преподавателей информатики, но и у учителей других дисциплин, в частности, биологии.

Это позволяет закрепить знания по биологии и наглядно продемонстрировать учащимся существование межпредметных связей и, таким образом, повысить мотивацию к изучению сразу двух дисциплин.

Хочу предложить задачу, которая относятся к курсу экологии, решаемую с применением ЭВМ только уже на языке программирования. Основная цель задания — моделирование отношений «хищник — жертва» в природном сообществе.

Общее условие

Цель задания — составить упрощенную математическую модель взаимоотношений хищника и жертвы в сообществе. Начальная численность популяции зайца (жертвы) составляет 2000 особей.. Выжившая к концу каждого года часть популяции зайцев увеличивает свою численность на 40%. Начальная численность популяции волков составляет 15 особей, один волк потребляет по 30 зайцев ежегодно, годовой прирост популяции волков составляет 10%. Смертность зайцев по иным причинам равна нулю. Смертность волков равна нулю.

Число жертв N₁, число хищников N₂.

Если бы в среде, где обитают эти виды, находился только один из них, а именно жертва, то у него был бы некоторый коэффициент прироста , который будем полагать постоянным и положительным. В этом случае закон изменения численности популяции зайцев выглядел бы так:

N₁ Решение этого уравнения , как хорошо известно, выглядит следующим образом , где - число особей данного вида при t=0. Число зайцев растет со временем по экспоненциальному закону!

Другой вид (хищник), питающийся только (или в основном) жертвой, в отсутствии жертвы обречен на вымирание, т.е. имеет отрицательный коэффициент прироста .

Закон изменения численности хищников в отсутствии пищи имеет вид , откуда . Число хищников убывает по экспоненциальному закону!

Когда же эти два вида сосуществуют в ограниченной среде, первый будет развиваться тем медленнее, чем больше существует особей второго вида, а второй – тем быстрее, чем многочисленнее будет первый вид. Поэтому уравнения баланса для числа особей каждого вида можно записать следующим образом:

, (1)

, (2)

где слагаемые в правых частях описывают уменьшение числа особей первого вида в результате встреч с хищниками в соответствии с уравнением (1) и увеличение числа хищников в результате их размножения при наличии добычи согласно уравнению (2).

Уравнения (1) и (2) – нелинейные относительно искомых величин N₁ и N₂. Это приводит к интересным результатам. Прежде всего у системы (1) – (2) существует единственное стационарное (не зависящее от времени), решение: можно подобрать такие значения числа особей каждого вида, при котором численность популяций не будет изменяться. Очевидно, при этом

. Обозначив стационарные значения N₁ и N₂ через и , найдем из уравнений (1) и (2) = и = (3)

Пусть теперь в силу каких – то причин (эпидемия, землетрясение и т.д.) число особей каждого вида изменится. Для простоты предположим, что новые значения численности популяций мало отличаются от стационарных значений. другими словами, исследуем малые флуктуации численности популяций.

Запишем: N₁(t) = + (t) N₂ (t)= + (t) (4)

где, и даются формулами (3). Подставим выражения (4) в систему уравнений (1), (2), учитывая формулы (3) для и , получим

или (5) , аналогично (6)

Дифференцируя уравнение (5) по t и подставляем из (6)

(7). Точно такое же уравнение получается для

(8)

А уравнения (7) – (8) , есть нечто иное, как уравнения гармонических колебаний

(9)

Решения уравнения (9) можно записать в виде ,

(10).

Если положить, что , то решения (10) записываются совсем симметрично:

(11)

Из (11), при t=0, имеем

,

Откуда

Тогда зависимость от времени величин и будет определяться соотношениями

При вводе полученных выражений в компьютер, можно легко прогнозировать численность каждой из двух взаимодействующих популяций через практически любой реальный интервал времени.

Предложенное нами задание сформулировано на примере заяц—волк, но это можно сделать и на примере других животных, вступающих в отношения "хищник—жертва" (мышь—лиса—рысь, олень- волк- пума и т.п.). Задание можно выполнить и в общем виде, обозначив "участников" как "жертва", "хищник-1" и "хищник-2". В последнем случае можно попросить учащихся самостоятельно подобрать подходящих животных.