Вопрос 17. Аналитическое решение и графическое решение игры 2*2. Возможности и перспективы применения теории игр при решении социально-экономических задач.

Седловая точка – это пара чистых стратегий  (iо,jо)  соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство   = . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:

где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо) – стратегии, образующие седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент  , называется решением игры. При этом  iо и jо  называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.

Исследование в матричных играх начинается с нахождения её седловой точки в чистых стратегиях. Если матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой седловой точки заканчивается исследование игры.

Для игры 2x2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Доминируемые стратегии мо­гут быть исключены, при этом цена игры не изменяется. Доминирование можно рас­пространить и на смешанные стратегии.

Аналитическое решение игры 2x2.

Условие седловой точки:

max(минимумы по строкам) = min(максимум по столбцам)

Рассмотрим игру размера 2x2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение— это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Для игры, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение игры существует и определяется парой смешанных стратегий (x*_{l ,}x*₂) и (у*₁,у*₂).

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался второй игрок. Для игры 2x2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Поэтому средний выигрыш и первого игрока, и второго будет равен цене игры.

Пусть игра задана платежной матрицей

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптималь­ную смешанную стратегию х* = (х*_{1 ,} х*₂), а второй игрок— чистую стра­тегию, соответствующую первому столбцу платежной матрицы, равен це­не игры v:

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платежной матрицы, т.е.

Учитывая, что

получаем сис­тему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию:

и цену игры

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании оптималь­ной смешанной стратегии второго игрока, получаем, что при любой чис­той стратегии первого игрока средний проигрыш второго игрока равен v, т.е.

Тогда оптимальная стратегия второго игрока определяется по форму­лам:

Известно несколько методов нахождения оптимальных стратегий х^*_i и y^* _j в играх двух лиц с нулевой суммой.

Графический метод. Этот метод применим только к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Рассмотрим игру 2хn. Предполагается, что первый игрок выбрал смешанную стратегию Р=(р,1-р), а второй игрок – k-ую чистую стратегию. Ожидаемый выигрыш первого игрока линейно зависит от р: . На плоскости это уравнение описывает прямую. Поэтому на плоскости сначала рисуются все прямые w=a_1kp+a_2k(1-p) k=1…n. Затем для каждого значения р, 0p1 путём сравнения соответствующих ему значений w на каждой прямой определяется и отмечается наименьшее из них. В результате получается ломаная, которая и является графиком функции . Эта ломаная огибает снизу всё семейство прямых. Верхняя точка ломаной определяет и цену игры, и оптимальную стратегию первого. Аналогично находится решение для mx2 игр, только ломаная теперь огибает прямые сверху и нам нужна нижняя её точка.

Пример 1.

Рассмотрим игру, заданную платёжной матрицей.

На плоскости  xОy  введём систему координат и на оси  Оx  отложим отрезок единичной длины А1, А2, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (x, 1 - x). В частности, точке А1 (0;0) отвечает стратегия А1, точке А2 (1;0) – стратегия А2 и т.д.

В точкаx А1 и А2 восстановим перпендикуляр и на полученныx прямыx будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии  А1, а на втором – при стратегии А2. Если игрок 1 применит стратегию А1, то выиграет при стратегии В1 игрока 2 – 2, при стратегии В2 – 3, а при стратегии В3 – 11. Числам 2, 3, 11 на оси 0 y соответствуют точки В1, В2 и В3.

Если же игрок 1 применит стратегию А2, то его выигрыш при стратегии В1 равен 7, при В2 – 5, а при В3 – 2. Эти числа определяют точки В'1, В2', В3' на перпендикуляре, восстановленном в точке А2.Соединяя между собой точки В1 и В'1, В2 и В'2, В3 и В'3 получим три прямые, расстояние до которыx от оси 0x определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующиx стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка В1В'1 до оси 0x определяет средний выигрыш  u1  при любом сочетании стратегий А1 А2 (с частотами  x  и  1–x) и стратегией  В1 игрока 2. Это расстояние равно 2x1 + 7(1 - x2) = u1

Таким образом, ординаты точек, принадлежащиx ломанной  В1 M N В'3  определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любыx смешанныx стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке  N; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* = (x, 1-x), а её ордината равна цене игры  u. Координаты точки N наxодим как точку пересечения прямыx В2 B'2  и  В3 B'3.

Соответствующие два уравнения имеют вид

. Следовательно Х = ( ; ), при цене игры  u = . Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы

и, следовательно, Y = (0; ; ). (Из рисунка видно, что стратегия B1 не войдёт в оптимальную стратегию.