Теорема о средней линии треугольника.
Определение: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Доказательство. В ∆АВС МN
- средняя линия. Докажем, что МN║АС,
МN=½AC.
Треугольники МВNи АВС
подобны по первому признаку подобия (
В- общий угол,
),
поэтому ВМN=BAC,
.
Из последнего равенства следует что
MN=½AC. BMN
и BAC
– соответственные углы при прямых MN
и AC и секущей AB.
Из их равенства следует параллельность
прямых MN и AC:
MN║AC.
З
апись
на доске:
Дано: ΔАВС. AM=MB, BN=NC.
Доказать: МN║АС, МN=½AC
Доказательство: ∆МВN ∆АВС по 1 пр. подобия ( В- общий, ), =>
1) . => MN=½AC.
2
)
ВМN=BAC,
BMN и
BAC –
соотв. при MN и AC
и секущей AB. => MN║AC.
2. Серединный перпендикуляр. Определение, свойство.
Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярна к нему.
а – серединный перпендикуляр: а АВ, АН=НВ.
С
войство
серединного перпендикуляра формулируется
в виде теоремы.
Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Если МО – серединный перпендикуляр, то АМ=МВ. Верно и обратное утверждение: Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
То есть если АМ=МВ, то М
серединному
перпендикуляру.
3. Задача.
Билет № 10
Теорема о касательной к окружности.
Касательная к окружности обладает свойством, которая формулируется в виде теоремы.
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Д ок-во. Проведём радиус OA окружности, в точку касания. Докажем, что рOA. Предположим, что это не так. Тогда радиус OA является наклонной, проведённой из точки O к прямой р. Так как перпендикуляр к прямой меньше наклонной, то расстояние от центра O до прямой меньше радиуса. При этом, согласно первому случаю взаимного расположения прямой и окружности, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит тому условию, что прямая р – касательная. Теорема доказана.
Запись на доске:
Дано: окружность, О – центр, ОА – радиус, р – касательная, А – точка касания.
Доказать: р АО
Доказательство: Предположим OA - наклонная к р.
Так как перпендикуляр < наклонной, то d<OA, где d – перпендикуляр. => 2 общие точки прямой и окружности => противоречие с условием, что р – касательная => р АО. 2. Формул площади треугольника. Запись, вывод.
Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Д
оказательство
Пусть S — площадь ∆ABC .Примем сторону
АВ за основание треугольника и проведем
высоту СН. Докажем, что, S = ½АВ • СН.
Достроим ∆ABC до параллелограмма ABDC так,
как показано на рисунке. ∆ABC=∆DCB по трем
сторонам (ВС — их общая сторона, AB=CD и
AC=BD как противоположные стороны
параллелограмма ABDC), поэтому их площади
равны. Следовательно, площадь ∆ABC равна
половине площади параллелограмма ABDC,
т. е. S = ½АВ • СН.
Запись на доске:
Дано: ∆АВС, АВ – основание, СН - высота.
Доказать: S = ½АВ • СН
Доказательство: Достроим ∆ABC до параллелограмма ABDC.
∆ABC=∆DCB по 3 признаку (ВС — их общая сторона, AB=CD и AC=BD) => S ∆ABC= S ∆DCB =>
S ∆ABC =½S ABDC, => S = ½АВ • СН.
Следствия: 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
2 Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
3. Задача.