3. Задача.
Билет № 5
1.Теорема о сумме внутренних углов треугольника.
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180º.
Доказательство. Докажем, что для произвольного ∆АВС справедливо соотношение А+В+С=180º. Через вершину В проведём прямую а, параллельную стороне АС, и введём в рассмотрение углы, образованные этой прямой со сторонами АВ и ВС: 1 и 2.Углы 1 и А – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых а и АС, и секущей АВ, поэтому 1=А. Углы 2 и С – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых а и АС и секущей ВС, поэтому 2=С. Сумма углов 1, и 2 равна развёрнутому углу, значит 1+В+2=180º. В силу полученных равенств будем иметь A+B+C=180º. Теорема доказана.
З
апись
на доске.
Дано: ΔАВС.
Доказать: А+В+С=180º
Доказательство. Доп. построение: В а, а||АС.
1 и А – накрест лежащие при а||АС, и секущей АВ ═>1=А.
2 и С – накрест лежащие при а||АС, и секущей CВ ═> 2=С.
1+В+2=180º (развернутый угол). ═> A+B+C=180º. Теорема доказана.
2.Касательная к окружности. Определение, свойство, свойство отрезков касательной.
О
пределение.
Касательной к окружности
называется прямая, имеющая с окружностью
только одну общую точку.
К
асательная
к окружности обладает свойством, которая
формулируется в виде теоремы.
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Из доказанной теоремы имеется свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки. Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. AC=BC; ACO=BCO.
3. Задача.
Билет № 6
Свойства параллельности двух прямых
Существуют три свойства параллельности двух прямых:
1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
3) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Докажем 1 свойство.
Д
оказательство
Пусть параллельные
прямые а
и b
пересечены секущей MN. Докажем, что
накрест лежащие углы 1 и 2, равны. Допустим,
что углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча
MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы угол
PMN и угол 2 были накрест лежащими углами
при пересечении прямых МР и b
секущей MN. По построению эти накрест
лежащие углы равны, поэтому МР||b.
Мы получили, что через точку М проходят
две прямые (прямые а
и МР), параллельные прямой b.
Но это противоречит аксиоме параллельных
прямых. Значит, наше допущение неверно
и l=2.
Теорема доказана.
Запись на доске.
Дано: a, b – прямые, . a║b, MN – секущая.
Доказать: l = 2
Доказательство. Пусть l ≠ 2.
Доп. построение PMN=2, и PMN и 2 накрест лежащие при прямых МР и b и секущей MN.
Т. к. PMN=2 по построению ═> МР||b (по признаку), a║b ( по условию). ═>
Противоречие аксиоме параллельных прямых ═>l = 2.
2. Теорема о соотношении между сторонами треугольника. Неравенство треугольника.
Т
еорема.
В треугольнике 1) против большей стороны
лежит большой угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Следствия: 1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
2) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника)
Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
То есть для любых трех точек А, В, С не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ<AC+CB, AC<AB+BC, BC<BA+AC. Каждое такое неравенство называется неравенством треугольника.
Запись на доске.
Теорема. 1)Если АВ>ВС, то С>А. 2) если С>А, то АВ>ВС
Следствия: 1) гипотенуза > катета.
2) Если А = В, то ΔАВС - равнобедренный (признак равнобедренного треугольника)
Теорема. АВ<AC+CB, AC<AB+BC, BC<BA+AC