§11. Полиномы Чебышева-Эрмита

Изложение материала §11 и §12 носит конспективный характер, за доказательством утверждений, принятых в этих параграфах, отсылаем к книге А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, раздел "Специальные функции".

Полиномы Чебышева-Эрмита имеют вид

Они являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям , следующей ЗШЛ. Найти те значения , при которых уравнение Чебышева-Эрмита имеет нетривиальное решение, возрастающее при не быстрее, чем конечная степень переменной , т. е.

Построить полиномы и определить, какому уравнению они удовлетворяют, можно так же, как это делалось для полиномов Лежандра, с помощью производящей функции .

Рекуррентные формулы получаются аналогичным способом и имеют вид:

Полиномы Чебышева-Эрмита с весовой функцией образуют ортогональную систему функций. Квадрат нормы определяется выражением

В приложениях большую роль играют функции Чебышева-Эрмита

Причем

Эти функции удовлетворяют уравнению

§12 Полиномы Чебышева-Лагерра

Если взять в качестве производящей функцию , разложить в ряд Тейлора , то можно получить так же, как и в случае с полиномами Лежандра, выражение

,

причем Это полиномы Чебышева-Лагерра.

Рекуррентные соотношения получаются так же, как и в случае с полиномами Лежандра, и имеют вид:

Эти полиномы являются собственными функциями следующей краевой задачи Штурма-Лиувилля.

Найти те значения , при которых уравнение

имеет нетривиальное решение , ограниченное при и возрастающее при не быстрее, чем конечная степень переменной .

Оказывается, что Система функций является ортогональной с весом :

Итак, .

В приложениях широко используются и так называемые обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра

При этом и т. д. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра определяются с помощью функции

Функции являются собственными функциями следующей ЗШЛ. Найти те значения , при которых уравнение

или в другом виде

имеет в области нетривиальное решение, ограниченное при и возрастающее при не быстрее, чем конечная степень

Имеет место быть соотношение

Здесь весовая функция , – гамма-функция.

Полиномами Чебышева-Лагерра соответствуют ортогональные нормированные функции с весовой функцией

,

где , которые удовлетворяют уравнению

при условии .

Глава 8 Метод функции Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа

Уравнением эллиптического вида является уравнение

,

– некоторая область, – искомая функция,

, – известные функции,

Простейший случай , или .

§1. Формулы Грина. Простейшие свойства гармонических функций

Пусть две функции и , обладает свойствами:

1. непрерывны вместе с частными производными 1-го порядка в замкнутой области (ограниченной поверхностью), кроме, может быть, конечного числа точек;

2. интегрируемы вместе с частными производными 1-го порядка везде в области D;

3. имеют интегрируемые в области D частные производные 2-го порядка.

Тогда имеет место быть первая формула Грина

, (1)

точка , а точка , – граница области

оператор имеет вид .

Записав разность , получают вторую формулу Грина

. (2)

Следствие. Пусть, , а – решение уравнения

, (3)

удовлетворяющее свойству 1). Тогда из соотношения (2) получим

. (4)

Определение. Функция u(M) называется гармонической в области D, если она непрерывна в ней и удовлетворяет уравнению Лапласа .

Понятие фундаментального (основного) решения уравнения Лапласа.

Пусть есть расстояние от фиксированной точки P до текущей точки M. Легко проверить, что в трехмерном пространстве функция а в двухмерном являются гармоническими, кроме точек М, совпадающих с точкой Р. Функции называются фундаментальными решениями уравнения Лапласа.

Простейшие их свойства.

1. Если u(M) – гармоническая в области функция, то из формулы (4) при k(M) = 1 следует соотношение

. (5)

Действительно, уравнение получается из уравнения если положить q = 0, k = 1, Тогда из уравнения (4) сразу следует выражение (5).

2. Теорема об усреднении.

Значение в центре М₀ шара D_R радиуса R функции u(M), гармонической в D_R и непрерывной вместе с частными производными первого порядка в S_R – сфера радиуса R, удовлетворяет соотношению

(6)

Действительно. Рассмотрим двусвязную (2 границы) область в виде двух шаров с общим центром М₀ и с радиусами R₁ < R, рис. 1.

Рис. 1.

По формуле (2) для q(M) = 0 имеем Отсюда получаем

(7)

На сферах и функция расстояния и ее производная постоянны. В силу соотношения (5) , имеем Поэтому формула (7) преобразится:

(8)

Так как то получим, применяя к интегралу теорему о среднем, , где .

Устремляя , получим соотношение (6). При точка . Что и требовалось доказать.

3. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях.

Теорема. Функция u(M), гармоническая в конечной области D, ограниченной замкнутой поверхностью S, и непрерывная в достигает своих наибольшего и наименьшего значений на границе области, на S.

Докажем теорему для наибольшего значения. При u = const теорема очевидна.

Пусть в . Введем обозначения:

Н_S – наибольшее значение функции u на границе S,

Н_D – наибольшее значение функции u в области D.

Пусть теорема не выполняется, т. е. Н_D > Н_S в некоторой точке . Введем вспомогательную функцию

(10)

в которой d – диаметр области D (наибольшее расстояние между двумя точками на границе S). Имеем для всех точек области D

. (11)

В точке по определению величины H_D будет выполнены равенства

А во всех точках (на границе области) будет выполнено

т. к. в силу предположения о невыполнении теоремы. Это означает, что непрерывная в функция должна достигать наибольшего значения в некоторой внутренней точке М₁ области , т. к. Возможно, что и М₁ = М₀. Величина H_D не есть наибольшее значение для .

В точке максимума функция многих переменных должна удовлетворять условию т. к. в этой точке ни одна из производных не может быть положительной. С другой стороны

Имеем противоречие и Следовательно H_D = H_S. Теорема доказана.

Заменой u(M) на –u(M) доказательство теоремы о наименьшем значении сводится к доказательству о наибольшем значении.

Следствие. Гармоническая в области D функция не может иметь локальных максимумов и минимумов внутри области D.

Аналогичным способом доказывается принцип максимума для уравнения теплопроводности: пусть функция u(x,y,z,t) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности

внутри ограниченной области {D; 0 < t < T} с краевыми условиями:

– граница области D;

Функции и непрерывны, причем . Пусть u(x,y,z,t) является непрерывной в +

Тогда u(x,y,z,t) принимает наибольшее и наименьшее значения или при t = 0 или на границе S области D.