§6. Рекуррентные соотношения

Далее – комплексная, – вещественная переменные. Пользуясь формулой (3) можно установить справедливость соотношений

(5)

Из последней формулы следует

( )

Если произвести дифференцирование в формулах (5), то получим

(6)

(7)

После вычитания получим

Аналогичные соотношения справедливы и для .

Рассмотрим снова уравнение Бесселя

.

Введем обозначение , тогда получится уравнение

Заменой переменных приходим к уравнению

, (8)

решением которого является . Следовательно, и функция является решением уравнения (8). Формулируются типичные краевые условия для уравнения (8) при :

и условие ограниченности при .

Если обозначить , то являются решением уравнения , либо уравнения , либо .

В этой связи возникает вопрос об ортогональности функций Бесселя на сегменте .

Теорема. Функции Бесселя ортогональны на промежутке с весовой функцией , для всякого : , если . Здесь и корни одного из 3-х уравнений , или , или .

Доказательство. Из уравнения (8) для и , разделив его на , имеем:

Далее умножаем первое уравнение на , второе – на , потом производим вычитание результатов умножения; и интегрируем:

Или

После интегрирования получим:

(9)

Обратимся к формуле (3) . Запишем ее в виде:

Кроме того,

Здесь и – степенные ряды.

С учетом этих двух последних формул (а) и (б) получим, положив и :

При , т. е. при выражение, стоящее справа, обращается в нуль при . Тогда из соотношения (9) следует, если положить , выражение

(10)

И из этого соотношения следует ортогональность при . Здесь суть корни уравнения или .

В случае, если – корни уравнения поступим так.

Имеем для разных : Первое уравнение умножим на , второе умножим на и вычтем друг из друга:

.

И снова в соотношении (10) нуль.

Теорема доказана.

Вычислим квадрат нормы . Воспользуемся формулой (10), переходя к пределу при : .

Имеем неопределенность , раскрываем ее по правилу Лопиталя:

. (11)

Далее из тождества находим при

.

Полученное соотношение подставим в формулу (11):

Отсюда окончательно

. (12)

Корни уравнения при вещественные, простые, кроме, возможно, . Они симметрично расположены относительно и не имеют конечных предельных точек.

§7. Полиномы Лежандра

п.1. Производящая функция полиномов Лежандра

Одним из способов построения полиномов Лежандра является использование производящей функции которая является аналитической по переменной t, т. е. раскладывается в абсолютно сходящийся степенной ряд по этой переменной. Она хорошо изучена в связи с решением уравнения Лапласа .

Степенной ряд для нее имеет вид

.

Это производящая функция для полиномов Лежандра. Определим их.

Положим в выражении , получим

.

Следовательно, из выражения (1) имеем . Положим , получим , т. е. .

Очевидно, что

.

С другой стороны, из теории аналитических функций известно соотношение

,

где С – замкнутый произвольный контур, охватывающий особую точку .

В интеграле произведём замену переменных

.

Далее получим, возводя в квадрат данное выражение (*),

Отсюда следует, что

Рассмотрим выражение , заменив на .

Получим ,

или окончательно Тогда Поэтому получим, что

, и в силу будем иметь

.

Следовательно,

Здесь – любой контур окружающий особую точку .

Можно показать, что поэтому получим

.

Из курса теории функций комплексной переменной (ТФКП) известно, что

Поэтому будем иметь .

Подставляя это выражение в формулу , получим

.

Это есть формула Родрига для определения полинома Лежандра. Очевидно, что .

п.2. Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра

Рассмотрим выражение Для производной по переменной имеем

.

Далее для производной по переменной получаем

.

Отсюда следует:

В левую часть соотношения подставим

и .

Имеем в результате

или

.

Раскроем скобки и результат запишем в виде суммы трёх слагаемых.

Приравниваем нулю коэффициенты ряда при одинаковых степенях :

Окончательно получаем:

.

Это и есть искомое рекуррентное соотношение. Получим ещё одно соотношение. Для этого исключим функцию из равенств и . Для этого осуществим операцию . Получаем в результате .

И так как , то получили соотношение

Продифференцируем равенство по переменной x . В результате будем иметь

Воспользовавшись соотношением , получим

или

Осуществим сдвиг индексов :

Это есть второе рекуррентное соотношение.

п.3. Уравнение Лежандра

Определим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет . Подставим из формулы в формулу . Имеем в результате , или .

Продифференцируем полученное выражение по переменной x :

.

Подставим сюда из формулы :

.

Окончательно получится

.

Таким образом, полиномы Лежандра являются решением следующей краевой задачи

Штурма-Лиувилля. Найти такие значения , чтобы функции были ненулевыми решениями уравнения

и были ограничены при .

Таковыми значениями, как следует из выше изложенного, являются значения .

Ортогональность полиномов Лежандра следует из того, что уравнение Лежандра является частным случаем краевой задачи Штурма-Лиувилля

.

Общая теория этой задачи утверждает, что .

Согласно теории, изложенной во введении (леммы 1, 2, 3), другое линейно независимое решение уравнения Лежандра будет неограниченным при . Как известно из курса функционального анализа, система ортогональных функций ЗШЛ является замкнутой по свойству ортогональности. То есть нет других не равных нулю непрерывных функций

ортогональных к системе . Поэтому уравнение Лежандра не имеет нетривиальных ограниченных решений при .

Итак, найдены все ограниченные ненулевые решения уравнения Лежандра.

Вычислим норму полиномов Лежандра.

Имеем по определению . Используем формулу дважды.

Сначала получим из неё , осуществив сдвиг индексов :

, .

Тогда

.

Выразим из формулы : . Отсюда следует

Последовательное применение этой формулы даёт

Так как , то .

И тогда окончательно получаем выражение для нормы полиномов Лежандра

, .