Глава 7 Специальные функции
§1. Уравнения, порождающие специальные функции. Задача Штурма-Лиувилля
Задача Штурма-Лиувилля (ЗШЛ) – это задача на собственные значения и собственные векторы. Применение: квантовая механика, теория упругости, оптика, молекулярная биология и др.
В общем виде записывают:
,
где
В одномерном случае ЗШЛ записывается в виде
(1)
(2)
Простейшая краевая задача
(3)
(4)
порождает собственную функцию в виде тригонометрической функции. Функции
.
1. Уравнение Бесселя
(5)
(6)
порождает функции Бесселя
2. Уравнение Лежандра
(7)
(8)
порождает функции Лежандра
3. Уравнения для присоединенных функций Лежандра
(9)
(10)
4. Уравнение Чебышева – Эрмита
(11)
(12)
порождает функции Чебышева-Эрмита.
5. Уравнения Чебышева – Лагерра
.
Для всех этих уравнений характерная особенность – обращение в нуль, по крайней мере, в одной граничной точке.
§2. Поведение решения в окрестности
особой точки
,
если k(a)=0
Рассматриваем особенность в точке
,
то же самое можно говорить, если
особенность будет в точке
.
Изучение поведения решения в окрестности
особой точки необходимо для того, чтобы
правильно сформулировать краевые
условия. В уравнении (1) обозначим
.
Тогда из уравнения (1) получаем
(
)
Лемма 1.
Пусть
– линейно-независимые решения уравнения
(
).
Коэффициент
запишем в виде
, (13)
где
непрерывная
функция на сегменте
,
,
т. к.
на интервале
Пусть решение
(14)
есть непрерывная на сегменте
функция. Здесь
тоже непрерывная на интервале
функция. Тогда второе решение
является неограниченным при
.
Доказательство.
Из курса обыкновенных дифференциальных
уравнений известно, что
можно
представить в виде квадратуры через
другую линейно-независимую функцию
в виде
Действительно,
Пусть
– два линейно-независимых решения
данного уравнения, тогда, умножив на
и
,
получим
(a)
. (b)
Вычтя одно уравнение из другого, получим
,
или 
.
Интегрируем:
,
делим на
:
,
,
что и требовалось доказать. В силу линейной независимости, можно положить
Рассмотрим выражение
.
Положим
.
Будем иметь
Легко показать, что
(15)
Функцию
можно представить в виде
где
Очевидно, при
функция
ограничена, а функция
при
либо как
,
либо как
.
Лемма доказана
Лемма 2.
Пусть выполнено условие леммы 1. Если
,
то второе решение
имеет логарифмическую особенность при
,
.
Если
,
т. е.
,
то
имеет особенность вида
при
.
Доказательство приведено в лемме 1.
Лемма 3.
Пусть выполнены условия леммы 1, и
коэффициент
либо ограничен, либо стремится в
бесконечность при
по следующему закону
Тогда для ограниченного решения вида
выполняется соотношение
если
. (16)
Доказательство. Выберем некоторое
значение
и
проинтегрируем уравнение (
)
от
до
для функции
или
Запишем в другой форме
Подставим в формулу (*) функции
:
Если
,
т. е.
,
то несобственный интеграл сходящийся,
и
на
непрерывная функция. Далее получим
Покажем, что
,
тем самым будет доказана лемма 3. Для
этого выразим
через
.
Из соотношения (*) следует
.
Отсюда после интегрирования
.
Тогда
.
По условию леммы
является ограниченной функцией, поэтому,
для того, чтобы
была ограниченной, необходимо, чтобы
.
Отсюда следует
.
Лемма доказана