2 Применение метода множителей Лагранжа при решении задач оптимизации в электроэнергетике

Этот метод позволяет отыскать условный (относительный) экстремум непрерывной функции, являющейся максимумом или минимумом при выполне­нии дополнительных условий в форме равенств (урав­нений связи).

Метод множителей Лагранжа дает возможность най­ти такую систему уравнений, которой должен удовлетво­рять экстремум функции f (X₁,..., X_m) на множестве N, определяемом системой уравнений g_i (X) для i=1, 2, ..., т.

Для того чтобы найти точку экстремума, характери­зующуюся на множестве N неким вектором X, необхо­димо найти т чисел λ₁,…, λ_m, которые вместе с векто­ром X удовлетворяли бы следующей системе (т+п) уравнений с (т+п) неизвестными: ; j = 1,…,n; =0; i = 1,…,m.

Эти уравнения получены как условия экстремума функции Лагранжа , где числа λ₁,…, λ_m называются множителями Лагранжа.

Задача заключается в применении метода Лагранжа к определению наивыгоднейших режи­мов энергетических установок, в частности к нахожде­нию оптимального распределения нагрузки между не­сколькими агрегатами. Например, если котельная, имею­щая п котлов, должна выдать тепло в количестве Q, а расход топлива Вi на каждом i-м котле известен, то минимум суммарного расхода топлива устанавливается с помощью метода Лагранжа, позволяющего найти экстремальное значение целевой функции. Для этого, приравнивая нулю частные производные функции Лагранжа, находbv, что усло­вием относительного минимума суммарного расхода топ­лива будет одинаковость (idem) относительных приро­стов расхода топлива всех агрегатов, т. е. величин .

3.1 Оптимальное распределение перетоков мощности в замкнутых контурах электрической сети

Оптимизация распределения мощностей в замкнутом контуре - это частная задача оптимизации режима элек­трической сети. Будем считать, что в узлах сети заданы не­изменные токи, т. е. уравнения установившегося режима линейны. Если в узлах заданы неизменные мощности, то будем определять их по номинальному напряжению: (1) , где , - заданные комплексные мощность и ток в каж­дом узле; - номинальное напряжение сети.

При этом ток в ветви kj определяется следующим обра­зом: . (2)

П ри выполнении условий (1) или (2) уравнения установившегося режима остаются линейными, т. е. вместо заданных комплексных токов в узлах можно использовать комплексные мощности в узлах, а вместо токов в ветвях — мощности в ветвях.

Найдем распределение мощностей в сети на рис. 13.2, соответствующее наименьшим потерям активной мощности, при выполнении первого закона Кирхгофа для мощностей при условии (1). Иными словами, определим такие зна­чения мощностей в линиях , , , которые соответствуют минимуму потерь активной мощности в сети min ΔP при выполнении следующих ограничений-равенств первого закона Кирхгофа для узлов 2 и 3: или для активных и реак­тивных мощностей:

;

(3)

;

Потери активной мощности в сети на рис. 13.2 с уче­том условия (2) равны .

Условие минимума потерь запишем так:

(4)

3.2 Оптимальное распределение перетоков мощности в замкнутых контурах электрической сети

Потери мощности, записанные в таком виде — это целе­вая функция задачи оптимизации режима сети, условия (3)—это ограничения-равенства первого закона Кирх­гофа. Задача (3), (4) - одна из простейших форму­лировок задачи оптимизации режима электрической сети.

Система ограничений (3) содержит четыре уравнения и шесть неизвестных активных и реактивных потоков мощ­ности в ветвях P₁₂, P₁₃, P₂₃, Q₁₂, Q₁₃, Q₂₃. Она имеет беско­нечное множество решений. Можно задать любые значения, например, четырех потоков P₁₃, Р₂₃, Q₁₃, Q₂₃ и из (3) найти значения потоков P₁₂, Q₁₂, удовлетворяющие первому закону Кирхгофа. Параметры режима имеют две степени свободы. Изменяя параметры режима, можно найти такие их значения, при которых потери мощности ΔР в сети ми­нимальны.

Определим потоки мощности, соответствующие миниму­му потерь. Для этого выразим P₁₃, Р₂₃, Q₁₃, Q₂₃ из (3) через неизвестные потоки Р₁₂, Q₁₂ и заданные нагрузки в узлах:

(5)

Подставим (5) в целевую функцию (4) и выразим потери через два неизвестных потока Р₁₂ и Q₁₂:

.

П олучили целевую функцию, которая зависит только от двух неизвестных Р₁₂ и Q₁₂. При этом задача определения условного экстремума функции шести неизвестных сведена к отысканию безусловного экстремума функции двух пере­менных. Последний определяется из усло­вия равенства нулю частных производных от ΔР по Р₁₂ и Q₁₂:

Решив эти уравнения, получим следующие аналити­ческие выражения для оптимальных по­токов мощности Р₁₂ и Q₁₂.