23.2 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе

(4). Решая эту систему относительно и (5), находим точку экстремума, а следовательно, и точку нового при­ближения х¹: (6).

Геом-я интерпретация рассмотренного случая представлена на рис. 5-11. Истинная зависимость F(x) заменена параболоидом , линии равного уровня которого в проекции на плоскость осей x₁ и х₂ - эллипсы. Решение системы (4) позволяет найти центр эллипсов х¹, а затем в этой точке повторить аппроксимацию и найти точку х² и т. д.

Выражения (3–6) соответствуют общему случаю ми­нимизации функции многих переменных F(x). В векторно – матричной форме эти выражения приобретают вид ;

Функция позволяет найти приближенное значение исходной функции F(x) и совпадает с ней лишь в точке разложения х°. В первом из этих выражений второй и третий члены – скалярные произведения векторов, отделенных друг от друга запятой. Через [G(x)] обозначена матрица вторых частных производных: , называемая матрицей Гессе. Эта матрица всегда симметрична. Вектор F'(x) есть вектор первых частных производных целевой функции и, следовательно, это есть градиент .

24.1 Комплексная оптимизация режимов энергосистемы

В общем случае для получения решения приходится применять современные методы нелинейного программи­рования. Рассмотрим применение для этой задачи ме­тода приведенного градиента.

Любая задача нелинейного математического про­граммирования может быть записана в следующей фор­ме. Имеется функция многих переменных .

Компоненты Z являются искомыми параметрами ре­жима, a D включает известную исходную информацию о состоянии системы, тогда min F(Z, D) совпадает с min F(Z). Необходимо по Z минимизировать функцию при ограничениях .

При использовании метода приведенного градиента компоненты вектора параметров режима системы Z раз­деляются на два подмножества X и Y: Y включает неза­висимые переменные, т. е. те параметры, которые в си­стеме могут регулироваться, на которые можно воздей­ствовать, используя определенные средства управления; X включает зависимые параметры режима, т. е. те, ко­торые могут быть вычислены по параметру Y, тогда , отсюда , а ограничения принимают вид:

Связи между независимыми Y и зависимыми X пере­менными, как правило, неявные. Поэтому задача мини­мизации функции (6-G7) решается по многошаговой схеме.

Деление параметров режима Z на два подмножест­ва X и Y понижает размерность задачи и, следователь­но, облегчает вычислительный процесс. Действительно, если Z имеет n переменных, а X имеет m переменных, то обычно размерность задачи p<<n.

Рассмотрим основные положения решения задачи комплексной оптимизации методом приведенного гради­ента. ЭС состоит из i = 1, 2, ..., М обобщенных и отдельных узлов и имеются толь­ко тепловые станции. Параметры режима: , – активные и реактивные мощности генераторных узлов; , – модули напряжений и фазовые углы в узлах системы. Известны активные и реактивные нагрузки в узлах, причем они не зависят от напряжений и часто­ты системы. Требуется определить оптимальное распре­деление нагрузки по условию минимума расхода услов­ного топлива системы.