21.1 Учет ограничений в форме равенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Приведенный градиент

При решении задачи оптимизации режима должны учитывать­ся уравнения связи, дающие зависимости между переменными y и x. Количество зависимых переменных M определяется числом уравнений связи, которые можно рассматривать как ограничения, выраженные в форме равенств. В качестве таких ограничений обычно принимаются УУН, записанные в форме баланса токов каждого узла, кроме балансирующего или в форме баланса мощностей каждого узла (1), где – общее число узлов в системе без балансирующего. Целевую функцию можно представить в виде , где x, y – векторы независимых и зависимых пере­менных, связь между которыми выражается системой уравнений в виде вектор – функции .

В градиентном методе необходимо определить направление мак­симального уменьшения целевой функции, не нарушая связей меж­ду переменными. Поэтому найдем связь между приращениями зави­симых и независимых переменных.

Рассмотрим точку (х°, у°) с координатами , удовлетворяющую системе равенств : (2), .

Это означает, что рассматриваются режимы энергосистемы, удовле­творяющие (1).

Разложив нелинейные уравнения в точке (х°, y°) в ряд Тейлора и ограничившись членами, содержащими производные не выше первого порядка, получим , .

С учетом (2) в матричной записи последняя система уравнений приобретает вид , откуда, переходя к бесконечно малым приращениям, получим (3).

Здесь – матрицы частных производных уравнений связи по независимым и зависимым переменным.

С учетом зависимости y(x) целевую функцию F(x,y) можно представить как F(x, y(x)). Выражение градиента приобретает вид

21.2 Учет ограничений в форме равенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Приведенный градиент

что в матричной форме записывается двумя способами:

; (4), , – векторы - столбцы частных производных целевой функции по независимым и зависимым переменным.

Вектор производных целевой функции по независимым перемен­ным dF/dx называется приведенным градиентом. С учетом соотно­шения (3) представим (4) в виде .

Вектор dF/dx рассматривается как возможное направление и ис­пользуется в рекуррентном выражении итерационной процедуры .

Наряду с методом приведенного градиента ограничения в форме равенств учитывает также метод Лагранжа. При отыскании экстремума целевой функции с учетом ограничений в форме равенств методом Лагранжа вводится новая функция Лагранжа L, в которой все переменные рассматриваются как независимые. В данном случае нет необхо­димости вычислять матрицу частных производных [dу/dx], в чем и заключается преимущество метода по сравнению с предыдущим. Недостатком метода является увеличение размерности задачи за счет введения неопределенных множителей Лагранжа, число кото­рых равно числу уравнений связи.

22.1 Учет ограничений в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций

При оптимизации режима электрической системы задается сово­купность ограничений в форме неравенств , определяющая некоторую допустимую область D. В задаче не­линейного программирования необходимо отыскивать относительный экстремум в области D, допуская, что активным может оказаться любое огра­ничение. В некоторых случаях активные ограничения могут быть выявлены в ходе итерационного процесса решения задачи оптими­зации.

П усть . В результате шага по рекуррентному выраже­нию метода возможных направлений получается точка x^k. Если эта точка также принадлежит области D, то осуществляется переход к точке x^k+1. Если же , то необходимо найти граничную точку x^k на поверхности области D. В результате выявляется активное ог­раничение (рис. 5-8), которое можно рассматривать как равенство. Однако правомерность такого перехода должна быть обоснова­на, так как не исключаются ситуации, подобные представленной на рис. 5-8. Здесь точка . Движение по антиградиенту с оптимальной длиной шага приводит в точку . Пусть найдена граничная точка x'. Если в дальнейшем ограничение рассматривать как равенство, то будет найден экстремум на ограничивающей по­верхности в точке x". Как видим, в данном случае решение оказы­вается неправильным, так как фактически следует найти точку аб­солютного минимума .

Метод штрафных функ­ций. Для решения задачи отыскания экстремума целевой функции F (x,y) в допустимых областях D_y и D_z рассматривается новая функция , которая в отличие от F(x,у) определена в пространстве зависимых переменных при и (где рассматриваются в виде переменных, зависимых от x и у). Это свойство новой функции и достигается за счет введения штрафных функций Ш(y) и Ш(z), подчиняющихся условиям:

.