19.2 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Критерии сходимости. Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска

производные равны нулю, поэтому итерационный спуск осуществ­ляется до получения , где – малая заданная величина.

В некоторых случаях используют модификацию второго крите­рия и не проверяют длину вектора градиента, а сравнивают макси­мальную компоненту вектора градиента с некоторой заданной конт­рольной величиной.

Расчет по второму критерию связан с большим объ­емом вычислений, но он гарантирует правильность окончания рас­чета. В градиентных методах это наиболее рациональный способ прерывания циклического итерационного расчета, поскольку част­ные производные и так вычисляются для организации спуска.

Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска.

1. Задаем начальные приближения .

2. Находим значение целевой функции и антиградиента в точке .

3. Делам пробные шаги и находим .

4. Определяем оптимальную длину шага

5. Определяем новые приближения оптимизируемых параметров .

6. Проверяем выполнение критерия оптимальности .

Вторая итерация выполняется аналогично. Далее проверяем критерий окончания расчетов: При выполнении условия расчеты заканчиваются, при невыполнении продолжаем итерации.

20.1 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

В градиентных методах движение всегда осуществляется в направлении наи­большего убывания целевой функции . Вектор градиента определяется через производные функции F(x) по всем независимым переменным .

Таким образом, чтобы воспользоваться рекуррентным выраже­нием градиентного метода , необходимо на каждом шаге итерационного процесса вычислять значения производ­ных . Для организации скорейшего спуска необходимо определение оптимальной длины шага , которая в этом случае удовлетво­ряет условию . Это условие означает, что результирующий вектор спуска должен быть таким, чтобы новый градиент стал ортогонален предыдущему.

Достоинство этого метода состоит в том что, несмотря на сложность и большой объем вычислений на каждом шаге, он в сочетании с методом наискорейшего спуска дает очень быструю сходимость.

Метод проектирования градиента. Пусть требуется найти минимум выпуклой функции при условии, что независимые переменные удовлетворя­ют системе из P линейных ограничений в форме нера­венств, т. е.

.

В начальной точке Х°, фазовые координаты которой удовлетворяют условиям ограничений , определя­ется вектор-градиент и в направлении антиградиента производится движение за границу до­пустимой области до точки x': , где –множитель, определяющий величину шага за границу допустимой области.

20.2 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

Полученная точка X¹ проектируется на поверхность ограничений , в результате чего определится точ­ка . Затем из точки так же как и из точки Х°, в на­правлении антиградиента совершается движение за границу допустимой области в точку .

Полученная точка X² проектируется на поверхность ограничений, в результате чего получается точка и т. д.

Если начальная точка Х° находится вне допустимой области, она вначале должна быть спроектирована на поверхность ограничений, после чего осуществляется описанная процедура движения. Это позволяет решать задачу от любого начального приближения.