16 Применение метода наискорейшего спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике
В
данном методе длина шага qk
зависит
от направления спуска Δxk
и вычисляется из условия обеспечения
максимального уменьшения целевой
функции в заданном направлении. Задача
формулируется таким образом, чтобы
найти значение
,
обеспечивающее
минимум F(х)
на Δx.
Функция F(х)
изменяется
в направлении Δx.
Для каждой конкретной задачи и направления
может быть построена зависимость F(q)
= F
(х° + q
Δxk),
имеющая
один экстремум для унимодальной функции
(рис. 5-6). Чтобы найти оптимальную длину
шага
,
необходимо продифференцировать
аналитическую функцию F(q)
и,
приравняв производную нулю
решить полученное уравнение относительно
q.
Определение
величины
–
задача одномерного поиска экстремума
функции одной переменной F(q).
Однако
путь точного аналитического определения
часто оказывается неприемлемым, так
как получение зависимости F(q)
может
быть сопряжено с большими трудностями.
Кроме того, уравнение
относительно
может
быть нелинейным, а его решение —
непростым. Поэтому зависимость F(q)
аппроксимируют
чаще всего полиномом второй степени
и находят псевдооптимальную длину шага
,
что следует из
.
Параметры полинома a, b, c можно найти, если вычислить любые три точки, удовлетворяющие зависимости F(q). Удобно в качестве узлов аппроксимации принять значения F°, F', F" в точках х°; х' = х° + Δх; х" = х° + 2Δх, т. е. вычислить функцию соответственно в исходной точке, далее в точках х' и х" при одинарном шаге (q = 1) и двойном шаге (q = 2) вдоль вектора Δх. Подставив параметры трех узлов аппроксимации в наш полином, при q = 0, q = 1 и q = 2 получаем соответственно
откуда
17 Способ вычисления оптимальной длины шага вдоль заданного направления спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике
В данном методе длина шага qk зависит от направления спуска Δxk и вычисляется из условия обеспечения максимального уменьшения целевой функции в заданном направлении. Задача формулируется таким образом, чтобы найти значение , обеспечивающее минимум F(х) на Δx. Функция F(х) изменяется в направлении Δx. Для каждой конкретной задачи и направления может быть построена зависимость F(q) = F (х° + q Δxk), имеющая один экстремум для унимодальной функции (рис. 5-6). Чтобы найти оптимальную длину шага , необходимо продифференцировать аналитическую функцию F(q) и, приравняв производную нулю решить полученное уравнение относительно q.
Определение величины – задача одномерного поиска экстремума функции одной переменной F(q). Однако путь точного аналитического определения часто оказывается неприемлемым, так как получение зависимости F(q) может быть сопряжено с большими трудностями. Кроме того, уравнение относительно может быть нелинейным, а его решение — непростым. Поэтому зависимость F(q) аппроксимируют чаще всего полиномом второй степени и находят псевдооптимальную длину шага , что следует из .
Параметры полинома a, b, c можно найти, если вычислить любые три точки, удовлетворяющие зависимости F(q). Удобно в качестве узлов аппроксимации принять значения F°, F', F" в точках х°; х' = х° + Δх; х" = х° + 2Δх, т. е. вычислить функцию соответственно в исходной точке, далее в точках х' и х" при одинарном шаге (q = 1) и двойном шаге (q = 2) вдоль вектора Δх. Подставив параметры трех узлов аппроксимации в наш полином, при q = 0, q = 1 и q = 2 получаем соответственно
откуда