15.1 Применение методов возможных направлений для поиска экстремума целевой функции при решении задач оптимизации в электроэнергетике

Методы возможных относятся к клас­су итеративных, т. е. методов последовательных приближений, в которых строится последовательность точек х°, х¹, ..., х^к, стремящихся к значению на основании следующего критерия оптимальности: каждая точка x^k должна быть лучше предыдущей х^k-1: .

Последовательность точек х^k образует траекторию спуска к ми­нимуму F. Количество шагов в спуске, необходимое для приближе­ния к экстремуму с заданной точностью, зависит как от выбранно­го исходного приближения х°, так и от способа организации спус­ка, т. с. перехода от х° к х¹, и т. д.

С уть методов возможных направлений заключается в том, что спуск из любой точки х° к можно осуществить по различным направлениям, называемым возможными, при которых последова­тельно уменьшается функция F(x).

Все направления можно разбить на три типа (рис. 5-5): – направления, приводящие к уменьшению целевой функции; – направления, приводящие к возрастанию целевой функции (противоположные направ­ления dir (— ) – также возможные направления спуска); – направления, лежащие в плоскости, касательной к поверхно­сти равного уровня F^о = const, не приводящие к уменьшению функ­ции ни в прямом, ни в обратном направлениях. Таким образом, с учетом реверса любое направление, отличающееся от касательно­го, следует рассматривать как возможное.

Вектор, ортогональный к касательной плоскости и указывающий направление наибольшей скорости возрас­тания функции F, называется градиентом функции F в точке х° и обозначается как . С точки зрения локальных свойств противоположное ему направление антиградиента является наилуч­шим из всех возможных направлений, так как оно показывает путь наибольшего убы­вания функции F(x°).

15.2 Применение методов возможных направлений для поиска экстремума целевой функции при решении задач оптимизации в электроэнергетике

Критерием выбора возможного направ­ления Δх является условие , означающее, что скалярное произведение векторов Δх и антиградиента не должно быть равно нулю, т. е. возможное направле­ние не должно быть ортогонально антиградиенту. Если в точке x^k каким-либо образом найдено возможное направление спуска Δx^k, то во всех рассматриваемых методах но­вая точка на траектории спуска вычисляется по рекуррентному вы­ражению

Различия в многочисленных методах возможных направлений состоят либо в способах задания направления спуска, либо в способах определения величины q^k, представляющей собой длину шага вдоль вектора

Все методы нелинейного про­граммирования, основанные на рекуррентном выражении ( ), можно разделить на два класса в зависимости от способа задания длины шага: методы использования постоянного шага и методы наискорейшего спуска.

В методе наискорейшего спуска исходная величина задается в виде константы. Од­нако для обеспечения сходимости процесса вычислений, чтобы на каждом шаге выполнялся критерий , необходим контроль правильного задания длины шага. При неудачно заданном значе­нии критерий может быть нарушен, т. е. . В этом случае необходимо уменьшить длину шага, т. е. воспользоваться фор­мулой , где — также некоторая константа, меньшая единицы.

Процедура решения выполняется до тех пор, пока не будет выполнено условие . При этом в качестве рассмат­ривается последнее значение .

Достоинство методов этого класса — малый объем вычислений на шаге. Недостаток заключается в том, что при неудачно вы­бранных значениях и количество шагов оптимизации может быть велико и в целом объем вычислений, а следова­тельно, и время решения задачи могут быть недопустимо большими.