19. Проверка гипотез о равенстве дисперсий

Сравнение геологических объектов по степени изменчивости, которая оценивается по величине дисперсии или коэффициента вариации тех или иных свойств, необходимо для обоснованного применения принципа аналогии при их изучении. На сравнении дисперсий основаны методы определения случайных погрешностей различных способов опробования и анализов. Если количественные данные о свойствах геологического объекта получены различными способами, то более надежным следует признать тот способ, который дает меньший разброс значений изучаемого свойства, т. е. характеризуется меньшей дисперсией.

Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий обычно используется критерий Фишера, который установил, что в случае равенства дисперсий двух нормально распределенных случайных величин величина при распределена по закону Фишера с и степенями свободы, где - количество членов в выборке, по которой получена большая дисперсия, а - объем второй выборки, а - оценки дисперсий, вычисляемые по формулам (25). Если вычисленное значение критерия Фишера превышает табличное, то гипотеза о равенстве двух дисперсий отвергается. Чтобы найти табличное значение критерия Фишера в EXCEL необходимо вставить функцию, выбрать категорию СТАТИСТИЧЕСКИЕ и в ней FРАСПОБР(вероятность, степени свободы числителя, степени свободы знаменателя)

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий используется, например, при сравнении двух методов опробования эмпирических данных на наличие случайных ошибок измерений. F – распределение возникает в регрессионном, дисперсионном и дискриминантом анализе, а также в других видах многомерного анализа данных.

20. Одномерные статистические модели в геологии. Примеры

В основе статистического моделирования лежат два понятия:

• генеральная совокупность – множество возможных значений определенного признака изучаемого объекта или явления.

• выборочная совокупность (выборка) – совокупность наблюденных значений данного признака.

В геологической практике одномерные статистические модели используются для решения двух типов задач:

• оценки средних параметров геологических объектов

• статистической проверки гипотез

Простейшие преобразования количественной геологической информации рассмотрим на следующем примере.

Для определения петрографического типа пород из горизонта неогеновых лав отобрано и проанализировано на содержание оксида кремния (SiO₂) 30 проб.

Содержание SiO₂ в отдельных пробах меняется от 56,6% (андезитобазальты) до 73,2% (риолиты), что не позволяет оценить состав лав горизонта в целом по единичному наблюдению.

№ пробы	SiO2	№ пробы	SiO2	№ пробы	SiO2	№ пробы	SiO2
1	59,	9	73,2	17	69,3	24	61,1
2	66,	10	64,6	18	64,6	25	63,8
3	60,5	11	62,9	19	67,8	26	67,5
4	63,7	12	62,4	20	56,6	27	65,3
5	72,5	13	71,6	21	71,4	28	69,9
6	69,2	14	65,8	22	67,6	29	73,2
7	61,2	15	63,1	23	63,6	30	60,7
8	66,3	16	61,2

По некоторым пробам содержание SiO₂ близки и различаются на десятые доли процента. Это позволяет заменить таблицу числовой диаграммой, которую американский статистик Дж. Тьюки назвал «Стебель с листьями». При построении диаграммы, часто повторяющиеся части чисел (в данном случае целые проценты содержания SiO₂), записываются в порядке возрастания в виде вертикального столбца (стебля), а оставшиеся части записываются около соответствующей начальной части в горизонтальную строчку

По числовой диаграмме находиться центр распределения –медиана. Для этого с любого конца стебля нужно отсчитать количество чисел равное половине общего количества замеров. В данном примере центр распределения попадает между значениями 64,6 и 65,3 %, т.е. соответствует примерно равным 65 %. Таким образом, по числовой диаграмме можно сделать вывод о том, что средний состав лав изученного горизонта соответствует дациту. Основные особенности числовых массивов могут быть также отображены на схематической диаграмме, названной «ящиком с усами». На эти диаграммы в определенном масштабе выносятся минимальные и максимальные значения признака, медиана и, так называемые, «сгибы» – середины распределений в интервалах от медианы до минимального и максимального значений. Положение «сгибов» определяется по числовой диаграмме путем отсчета от медианы в сторону больших и меньших значений количества «листьев», равного ¼ от их общего количества. Интервал между «сгибами» изображается в виде прямоугольника («ящика»), а интервалы от «сгибов» до минимального и максимального значений – в виде прямых линий («усов»). Иногда единичные значения на числовой диаграмме отдалены от основной совокупности значительными интервалами – участками «стебля» без «листьев» (проба с SiO₂.=56,6% является резким отклонением, нетипичным для горизонта) Такие интервалы на схематической диаграмме целесообразно показывать пунктиром. По длине «ящика» и «усов» можно судить о характере разброса данных относительно медианы, оценивать степень асимметричности распределения, выявлять резкие отклонения по отдельным замерам от общей совокупности, оценивать однородность числового массива. В «ящик» попадают все определения, соответствующие дациту, а пробы с содержанием SiO₂, характерным для других пород, приходятся на «усы». Визуальное сравнение числовых и схематических диаграмм, построенных для нескольких геологических объектов, нередко позволяют произвести их предварительную группировку по принципу близости средних значений и степени изменчивости изучаемых свойств, а также выявить отличительные индивидуальные свойства каждого геологического объекта.