6. Случайная величина. Общее понятие, примеры

Рассмотрим пример случайного события. По одному из9рудных тел медного месторождения отобрано по равномернойсети 1000 проб, содержание меди в которых колеблется от 0,1% до 5%. Кондиционным является содержание в 2%. Наличие меди в любой наугад взятой пробе будет событием достоверным, а вот содержание в ней меди свыше 2% -событие случайное. Если мы разделим количество проб с кондиционным содержанием на общее количество проб, то получим величину коэффициента рудоносности для данного рудного тела. Эта величина будет меняться от одного рудного тела к другому, причем заранее нельзя предсказать, какое значение она примет в каждом конкретном случае, то есть, это величина случайная. Итак, с л уч а й н о й называется величина, принимающая в результате испытания то или иное, заранее неизвестное, значение. Случайные величины могут быть прерывистыми (дискретными) и непрерывными. Случайная величина, принимающая в испытаниях только определенные числовые значения (т.е. число возможных значений которой есть либо конечное, либо бесконечное счетное множество), называются дискретной. Непрерывная случайная может принимать в некотором интервале любые значения. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

7. Генеральная и выборочная совокупности. Примеры выборок

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным—контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности:

 Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений,  проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.

Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

 Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

 Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки п =100.

Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n . 

8. Простейшие преобразования количественной геологической информации

Построение диаграмм «стебель с листьями» и «ящик с усами», гистограмм

9. Параметры распределения случайной величины

Математическое ожидание (среднее значение) EXслучайной величины X. Представляет собой интеграл вида

.

Для непрерывной случайной величины может быть выражено также через плотность ее распределения

,

а для дискретной случайной величины - через функцию вероятности:

.

Дисперсия (рассеяние) случайной величины X имеет вид

.

В классических методах теории риска дисперсия часто использовалась в качестве меры риска, измерителя рискованности проектов.

Стандартное отклонение случайной величины X задается выражением

.

Асимметрия распределения случайной величины X:

.

характеризует различие "хвостов" распределения; асимметрия положительна при более тяжелом правом хвосте, и отрицательна при более тяжелом левом хвосте. Для симметричных распределений асимметрия равна 0.

Островершинность распределения случайной величины X:

.

характеризует тяжесть "хвостов" распределения; положительные значения этого параметра соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения.

Медианой a = med(X) распределения случайной величины Xназывается корень уравнения

.

М едиана является средней характеристикой распределения в том смысле, что X с равными вероятностями принимает значения, лежащие справа и слева от a. Преимуществом медианы перед математическим ожиданием является тот факт, что математическое ожидание может быть неопределенным, если задающий его интеграл (в дискретном случае - ряд) расходится, как, например, в случае распределения Коши.

Недостатком медианы является ее возможная неоднозначность для дискретных распределений. Медиана симметричного распределения совпадает с его средним значением (если последнее существует).

Модой распределения называется наиболее вероятное значение случайной величины: в непрерывном случае - точка максимума плотности распределения, в дискретном случае - точка максимума функции вероятности. Мода распределения может быть неоднозначной, и использование этого параметра в теории риска ограничено.