Вправи для повторення

258. Розв’яжіть рівняння:

а) 5х  3 = 3х + 17; б) 7х + 32 = 12х + 25;

в) 2(х  11)  5(5  2х) = –23; г) 8(3х + 4) + 14(3 + 2х) = 4 + 2х.

259. Футбольна команда у 15 матчах набрала 23 очка, програвши 6 матчів. У скількох матчах команда здобула перемогу і скільки матчів зіграла внічию? (За перемогу команді нараховується 3 очка, за нічию  1 очко, за поразку  0 очок.)

260. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 8. Перше число на 5 більше від другого, а друге — на 1 менше від третього. Знайдіть ці числа.

8. Властивості степеня з натуральним показником

1. Множення степенів з однаковими основами.

Розглянемо добутки двох степенів з основою а. Врахувавши, що а¹ = а, матимемо:

а¹а¹ = аa = а² = а^1 + 1;            а²а¹ = (аа)a = ааа = а³ = а^2 + 1.

Отже, а¹а¹ = а^1 + 1, а²а¹ = а^2 + 1. У цих прикладах добуток степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією ж основою і показником, який дорівнює сумі показників степенів. Таку властивість має добуток будь-яких степенів з однаковими основами.

Властивість 1

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність

a^mаⁿ = а^m + n.

● Доведення. Врахувавши означення степеня, матимемо:

a^mаⁿ = = = а^m + n. ●

Із властивості 1, яку ще називають основною властивістю степеня, випливає правило множення степенів:

Щоб перемножити степені з однаковими основами, потрібно основу залишити ту саму, а показники степенів додати.

Наприклад:

3²  3³ = 3^2 + 3 = 3⁵;     2⁴  2 = 2⁴  2¹ = 2^4 + 1 = 2⁵; b⁷  b⁸ = b^7 + 8 = b¹⁵.

Правило множення степенів поширюється на добуток трьох і більше степенів. Наприклад:

5²  5⁴  5⁶ = 5^{2 + 4 + 6} = 5¹²;   b⁵  b³  b⁷  b = b^{5 + 3 + 7 + 1} = b¹⁶.

2. Ділення степенів з однаковими основами.

Розглянемо рівність а²а³ = а⁵, де а  0. Із цієї рівності за означенням частки маємо:  а⁵ : а³ = а².  Рівність а⁵ : а³ = а² можна переписати так:

а⁵ : а³ = а^5  3.

У цьому прикладі частка степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією ж основою й показником, який дорівнює різниці показника степеня діленого й показника степеня дільника. Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.

Властивість 2

Для будь-якого числа а  0 та довільних натуральних чисел m і n, де m > n, справджується рівність

а^m : аⁿ  а^m  n. 

● Доведення. Оскільки a^m  n  аⁿ = а^{m  n + n} = а^m, тобто a^m  n  аⁿ = а^m, то за означенням частки маємо:  а^m : аⁿ = а^m  n. ●

З доведеної властивості випливає правило ділення степенів:

Щоб поділити степені з однаковими основами, потрібно основу залишити ту саму, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника.

Наприклад: 3⁷ : 3² = 3^7  2 = 3⁵;  х⁴ : х = х⁴ : х¹ = х^4  1 = х³.

3. Піднесення степеня до степеня.

Піднесемо степінь а² до куба:

(а²)³ = а²  а²  а² = а^{2 + 2 + 2} = а^23.

Отже, (а²)³ = а^23. Із прикладу видно: щоб піднести квадрат числа до куба, потрібно залишити ту ж основу й узяти показник, який дорівнює добутку показників. Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.

Властивість 3

Для будь-якого числа а та довільних натуральних чисел m і n справджується рівність

(a^m)ⁿ = а^mn.

● Доведення.

(a^m)ⁿ = = = а^mn. ●

Із властивості 3 випливає правило піднесення степеня до степеня:

Щоб піднести степінь до степеня, потрібно основу залишити ту саму, а показники степенів перемножити.

Наприклад: (4³)⁵ = 4^3  5 = 4¹⁵;  (b⁶)⁴ = b^6  4 = b²⁴.