3. Побудова загального розв’язку однорiдного рiвняння.

Наступна теорема визначає спосiб побудови

загального розв’язку лiнiйного однорiдного рiвняння (3).

Теорема 3. Нехай

Є незалежними iнтегралами системи (4). Тодi функцiя

, (7)

де – довiльна функцiя, яка має неперервнi похiднi за змiнними , є розв’язком рiвняння (3).

Доведення.

Пiдставляючи (7) у рiвняння (3) i беручи

до уваги, що функцiї є розв’язками рiвняння (3), отримуємо:

+ +...+ = + +...+ =

= .

а це й означає, що функцiя (7) є розв’язком рiвняння (3). Формулу (7) називають загальним розв’язком рiвняння (3). Звертаємо увагу, що загальний розв’язок рiвняння з частинними похiдними першого порядку мiстить довiльну функцiю, а не довiльнi сталi, як це було для звичайних диференцiальних рiвнянь.

Приклад 3. Зiнтегрувати рiвняння

.

Розв’язання.

Складемо вiдповiдну систему характеристик

i зiнтегруємо її: , , а тому iнтегралами є , . Отже, загальним розв’язком заданого рiвняння є

,

де – довiльна неперервно диференцiйовна функцiя вiд часток , , тобто u є довiльною неперервно диференцiйовною однорiдною функцiєю нульового вимiру змiнних x, y, z.

Наприклад, розв’язками заданого рiвняння є функцiї

, , , ,

Вiдповiдь: .

З теореми 3 випливає, що задача про побудову загального розв’язку рiвняння (3) рiвносильна задачi про вiдшукання n −1 незалежних iнтегралiв вiдповiдної йому системи характеристик (4). У випадку двох незалежних змiнних, позначивши шукану функцiю через , маємо рiвняння

(8)

Вiдповiдна система характеристик вироджується в одне диференцiальне рiвняння

. (9)

Якщо – iнтеграл рiвняння (9), то , де

– довiльна неперервно диференцiйовна функцiя вiд змiнної , буде загальним розв’язком рiвняння (8).

Приклад 4. Зiнтегрувати рiвняння .

Розв’язання.

Вiдповiдна система характеристик вироджується у рiвняння з вiдокремлюваними змiнними: , iнтегралом якого є . Згiдно з теоремою 3 загальний розв’язок заданого рiвняння має вигляд .

З геометричної точки зору маємо сiм’ю поверхонь обертання з вiссю обертання Oz. Таким чином, задане рiвняння є диференцiальним рiвнянням усiх поверхонь обертання з вiссю обертання Oz. Iнтегральними поверхнями є поверхнi обертання . Окремими випадками цих поверхонь є (параболоїд обертання), (пiвсфера), (конус), (площина).

Вiдповiдь: .

4. Розвязання задачі Кошi для лiнiйного однорiдного рiвняння.

Задача Кошi для рiвняння (3) полягає у знаходженнi розв’язку , який для фiксованого значення однiєї з незалежних змiнних, наприклад , перетворюється у задану неперервно диференцiйовну функцiю решти змiнних, тобто задовольняє початкову умову:

. (10)

У випадку, коли шукана функцiя залежить вiд двох незалежних змiнних, тобто для рiвняння (8), задача Кошi полягає у вiдшуканнi такого розв’язку z = f( x, y), який задовольняє початкову умову

,

де – задана функцiя. Геометрично це означає, що серед усiх iнтегральних поверхонь, якi визначаються рiвнянням (8), шукається така поверхня z = f (x, y), яка проходить через задану криву z = , яка лежить у площинi (ця площина паралельна до площини Oyz). Згiдно з теоремою 3 загальний розв’язок рiвняння (3) задається формулою (7), тобто .

Пiдставляючи цю функцiю в (10), бачимо, що розв’язок задачi Кошi (3), (10) зводиться до визначення вигляду функцiї , яка задовольняє умову

= .

Таким чином, одержуємо правило розв’язування задачi Кошi (3), (10) :

1) скласти вiдповiдну систему характеристик i знайти її n − 1 незалежних iнтегралiв:

, , … , ;

2) замiнити у знайдених iнтегралах незалежну змiнну xn її початковим

(11)

значенням i розв’язати систему (11) вiдносно , тобто знайти

… , ;

3) побудувати функцiю

яка i буде розв’язком задачi Кошi.

Приклад 6. Розв’язати задачу Коші

при умові при .

Розв'язання.

Складаємо систему , звідси – інтеграл.

Отже , . Шуканий розв’язок .

Розглянемо частинні випадки:

а) . Тоді ,

М ал. 1

Розв’язок – конус, який отриманий обертанням прямої навколо осі OZ (мал. 1);

б ) ,

Мал. 2

Розв’язок – параболоїд, який отриманий обертанням параболи навколо осі OZ (мал. 2).

Приклад 5. Знайти розв’язок задачi Кошi

, .