МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

СХІДНОЄВРОПЕЙСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ЛЕСІ УКРАЇНКИ

Математичний факультет

Кафедра диференціальних рівнянь та математичної фізики

КУРСОВА РОБОТА

“Однорідне лінійне рівняння в частинних похідних першого порядку”

Виконала:

студентка 21 групи

денної форми навчання

Мельничук Анастасія

Науковий керівник:

Жигало Т.В.

Луцьк - 2013

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………3

1. Основні поняття. Задача Коші та її геометричний зміст………………….4

2. Зв’язок між однорiдним лiнiйним рiвнянням в частинних похiдних першого порядку і відповідною йому системою звичайних ДР в симетричній формі………………………………………………………………10

3. Побудова загального розв’язку однорiдного рiвняння……………………..14

4. Розвязання задачі Кошi для лiнiйного однорiдного рiвняння……………...17

Висновок………………………………………………………………………….21

Список використаної літератури………………………………………………..22

Вступ

В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – це диференціальні рівняння в частинних похідних.

Існує спеціальна дисципліна, яка за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь математично описує явища, пов’язані з деякими фізичними процесами. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.

Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 1-го порядку:

Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) — це диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.

Мета даної курсової роботи - показати зв’язок таких рiвнянь з системами звичайних диференцiальних рiвнянь i навести методи побудови загального розв’язку та розв’язку задачi Кошi, якi ґрунтуються на цьому зв’язку. Поштовхом до розвитку теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних стали задачі математичної фізики, які базуються на фізичних законах, що в більшості описуються рівняннями данного класу.

Об’єкт даної курсової роботи є - дослідження однорідного лінійного рівняння в частинних похідних першого порядку та спосіб побудови

загального розв’язку лiнiйного однорiдного рiвняння .

Робота складається зі вступу, одного розділу, висновків і списку використаної літератури. Цей розділ описує основні поняття формулювання та геометричний зміст Задачі Коші для лiнiйних рiвняннь в частинних похiдних першого порядку.

1. Основні поняття. Задача Коші та її геометричний зміст.

Диференцiальним рiвнянням з частинними похiдними (також відоме як рівняння математичної фізики) - називають спiввiдношення, яке мiстить невiдому функцiю вiд декiлькох змiнних, незалежнi змiннi та частиннi похiднi невiдомої функцiї за незалежними змiнними. Порядок старшої частинної похiдної, яка входить у рiвняння, називають порядком рiвняння..

Наприклад, диференцiальне рiвняння з частинними похiдними першого порядку має такий загальний вигляд:

, (1)

де - шукана функція, - її частинні похідні, Ф – задана неперервно диференцiйовна функцiя в деякiй областi , причому в рiвняння (1) принаймнi одна частинна похiдна входить обов’язково.

Означення 2. Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (1) називається порядком диференціального рівняння.

Означення 3. Функція називається розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (1), якщо вона n-раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі і задовольняє диференціальному рівнянню (1) .

Приклад 1.  – диференціальне рівняння другого порядку.

При диференціальне рівняння (2) називається диференціальним рівнянням першого порядку і записується таким чином

. (2)

Диференціальне рівняння (2) називається розв’язаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді

. (3)

Припускаємо, що однозначна і неперервна в деякій області D змінних x,y. Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (3).

Якщо в деякій області функція перетворюється в , то в цій області розглядають диференціальне рівняння

.

Множину таких точок, а також тих, в яких не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (3).

Поряд з (3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах

(4)

або в більш загальному виді

. (5)

Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі

. (6)

Функції будемо вважати неперервними в деякій області.

Означення 4. Розв’язком диференціального рівняння (3) на інтервалі І назвемо функцію , визначену і неперервно диференційовну на І, яка не виходить з області означення функції і яка перетворює диференціальне рівняння (3) в тотожність , тобто

.

В цьому випадку називається розв’язком, записаним в явній формі (вигляді).

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням.

Не завжди можна отримати розв’язок в явному вигляді.

Означення 5. Будемо говорити, що рівняння

(7)

визначає в неявній формі розв’язок диференціального рівняння (3), якщо воно визначає , яка є розв’язком диференціального рівняння (3).

При цьому на розв’язках диференціального рівняння (3) виконується

.(8)

Означення 6. Будемо говорити, що співвідношення

(9)

визначають розв’язок диференціального рівняння (3) в параметричній формі на інтервалі , якщо

. (10)

Задача Коші та її геометричний зміст.

Розглянемо диференціальне рівняння . Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння знайти такий , який проходить через задану точку

(11)

Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції.

Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (мал. 1): знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (3) ту, яка проходить через задану точку .

Мал. 1.

Означення 7. Будемо говорити, що задача Коші (3), (11) має єдиний розв’язок, якщо число h>0, що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки .

Якщо задача Коші (3), (11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

Я кщо права частина диференціального рівняння (3) в точці М приймає

нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (3) і знайти розв’язок (мал. 2).

Мал. 2

Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (3) має невизначеність, наприклад, типу , тоді звичайна постановка задачі Коші не має змісту, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так: знайти розв’язок (або ), який примикає до точки М.

В деяких випадках треба шукати розв’язок , який задовольняє умовам при при і т.д.

Теорема Пікара (без доведення). Припустимо, що функція в диференціальному рівнянні (3) визначена і неперервна в обмеженій області

і, отже, вона є обмеженою

(12)

функція має обмежену частинну похідну по у на D

. (13)

При цих умовах задача Коші (3), (11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі (14)

Зауваження 1. В сформульованій теоремі умову (13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто

. (15)

Тут L>0 - найменша константа, яка задовольняє (15) і називається константою Ліпшіца .

Теорема Пеано (про існування розв’язку).

Якщо функція є неперервною на D, то через кожну точку проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

Якщо функція диференційовна і задовольняє (13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K. Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (13).

Наприклад, .