1.12. Способы вычисления определенных интегралов

Теорема 1. (Теорема Ньютона-Лейбница) Пусть функция f непрерыв- на на сегменте , a < b, а Ф –первообразная этой функции на . Тогда

= Ф(b) - Ф(a).

► В силу теоремы 2 предыдущего пункта является первообразной для f на . Заметим: , = . Функции и Ф(х) являются первообразными для f , поэтому их разность тождественно на равна константе: - Ф(х)≡С. Подставив сюда х = а, получим: С= = - Ф(а). Таким образом, на = Ф(х)- Ф(а). Подставим сюда х = b: = Ф(b) - Ф(a). Это и есть доказываемое равенство. ◄

Замечание. Равенство = Ф(b) - Ф(a) называют формулой Ньютона-Лейбница. Её часто записывают в следующей компактном виде: = Ф(х) .

Пример1. Вычислить .

► Ф(х)= - cosx является первообразной для f(х) =sinx на ; значит,

= - cosx . ◄

Функцию называют непрерывно дифференцируемой на промежутке, если её производная непрерывна на этом промежутке. Очевидно, функция, непрерывно дифференцируемая на промежутке, непрерывна на нем.

Пусть функция φ непрерывно дифференцируема на сегменте [α,β] , α<β. Множество её значений также представляет собой некоторый сегмент ([1], стр.64); обозначим его через . По второй теореме Вейерштрасса ([1], стр. 61) на [α,β] существуют точки и , в которых φ достигает своих точных граней: φ( )= = a , φ( )= = b.

Теорема 2. (О замене переменной под знаком определенного интегра- ла) Пусть сегмент есть множество значений функция φ, непрерывно дифференцируемой на сегменте [α,β] , α<β, а и - точки на [α,β] такие, что φ( )= a , φ( )= b. Если функция f непрерывна на , то

= .

► Обозначим: , Ф(u) = F( φ(u)), где х , u . Заметим: F(а)= 0, F( b) = , Ф′(u)= Таким образом, Ф является первообразной для подынтеграль- ной функции интеграла , и по формуле Ньютона-Лейбница = Ф( ) - Ф( ). Но Ф( ) = F( φ( )) = F(а)= 0, Ф ( )= = F( φ( )) = F( b) = = . Значит,

= Ф( ) - Ф( ) = F( b) - F(а) = F( b) = . ◄

Замечание 1. Говорят, что интеграл получен в резуль- тате замены в интеграле переменной интегрирования х на перемен- ную u, связанную с х зависимостью х = φ(u).

Замечание 2. Если функция φ возрастает ( убывает) на [α,β], то

= . ( = .).

► Пусть φ возрастает на [α,β] . Тогда φ( α)= а, φ(β)=b, т.е. = α, = β; значит, = = . Случай убывающей функции φ рассматривается аналогично.

Пример 2. Вычислить

► Применить сразу формулу Ньютона – Лейбница здесь не удается, так как первообразная подынтегральной функции неизвестна. Положим в этом интеграле х = φ(u)=cosu, где u . Множество значений φ( u) на есть , причем φ убывает на . Функция f(х) = непре- рывна на . По теореме 2 (см. замечание 2)