1.6. Интегрируемые функции

Пусть τ = - дробление промежутка P = , a < b, образованное набором точек . Наибольшую из длин промежутков , назовем рангом дробления τ и обозначим через λ_τ .

Пусть имеем некоторую последовательность { τ_k} дроблений проме -жутка Р : τ₁ = , τ₂ = , … , τ_k = , … . Дробление τ_k образо- вано набором точек , x = a< x <x < … <x <x =b, так что . Последовательность { τ_k} назовем нормальной последо- вательностью дроблений, если последовательность {λ } их рангов явля- ется бесконечно малой : λ . В качестве примера нормальной последо- вательности дроблений укажем на последовательность {τ_k} , где дробле- ние τ_k образовано набором точек, делящих на k равных частей.

Пусть функция f ограничена на промежутке , a < b.

Определение. Функцию f назовем интегрируемой на промежутке , если для любой нормальной последовательности { τ_k} дроблений этого промежутка разность между верхней и нижней интегральными суммами функции f по дроблению τ_k стремится к нулю: τ_k) - τ_k) .

Приведем пример интегрируемой функции.

Теорема 1. Пусть , a < b, любой ограниченный промежуток, а фун- кция f ограничена на и либо непрерывна на нем, либо имеет конечное количество точек разрыва. Тогда f интегрируема на .

► Если функция f удовлетворяет указанным выше требованиям, то существует набор точек , t₀ = a< t₁ <t₂ < … <t_n-1 <t_n =b, такой, что f неп- рерывна на каждом из интервалов , Точки этого набора явля- ются, вообще говоря, точками разрыва функции f ; если f непрерывна на , то набор можно составить из двух точек a и b. Выберем ε₀ > 0 настолько малым, чтобы ε₀ – окрестности точек t_i , i = 1,2, …, n, попарно не пересекались. Обозначим: , . Очевид- но, множества Х и Y не пересекаются, а всякая точка промежутка при- надлежит либо Х, либо Y. Функция f непрерывна на сегменте ; по теореме Кантора ([1], стр. 65) найдется такое, что для любых х′ и х″, принадлежащих и удовлетворяющих условию | х″- х′| < спра- ведливо неравенство |f(х″) – f(х′)| < ε₀ . Обозначим через δ наименьщее из чисел , ,…, _n, ; тогда для любых х′ и х″, принадлежащих множеству Y и удовлетворяющих условию | х″- х′| < δ справедливо неравенство |f(х″) – f(х′)| < ε₀.

Пусть τ = - дробление промежутка , ранг λ_τ которого мень- ше δ . Совокупность промежутков разобьем на две группы. К груп- пе I отнесем промежутки Х_j , содержащиеся в множестве Y, остальные сос- тавят группу П; промежутки второй группы либо содержатся в множестве Х, либо имеют непустые пересечения и с Х, и с Y. Имеем:

τ) - τ) = + . Здесь в и собраны слагаемые суммы , которые соот- ветствуют промежуткам группы I и группы П. Если Х_j принадлежит группе I, то он содержится в множестве Y, и так как длина его меньше δ , то для лю- бых х′ и х″, принадлежащих Х_j , справедливо |f(х″) – f(х′)| < ε_0.; поэтому . Отсюда:

≤ ε₀ ≤ ε₀ (b - a) . (3)

Оценим . Обозначим: . Ясно, что значит, ≤ (M – m) . Оценим - сум- му длин промежутков Х_j, входящих в группу П. Всякий такой промежуток либо содержится в Х, либо имеет непустые пересечения как с Х, так и с Y. Множество Х состоит из n+1 попарно не пересекающихся интервалов ; длина Х_j меньше δ ; значит, сумма длин всех промежутков из группы П не может превзойти величину 2 (n+1)( ε₀ + δ ), а это число меньше 4 ε₀ (n+ 1). Таким образом,

≤ (M – m) ≤ (M – m) 4 ε₀ (n+1). (4) Из (3) и (4) теперь получим:

τ) - τ) = + ≤ ε₀ (b - a) +

+(M – m) 4 ε₀ (n+1) = С ε₀ , (5) где С = (b - a) + 4 (M – m) (n+1) > 0 – константа, не зависящая от выбора ε₀ .

Пусть ε > 0 – заданное число, а { τ_k} - нормальная последователь- ность дроблений промежутка . Пусть ε₀ > 0 выбрано так, чтобы ε₀ – ок- рестности точек t_i , i = 1,2, …, n, попарно не пересекались и чтобы было вы- полнено условие ε₀ . По ε₀ найдем δ так, как было описано выше. Пос- ледовательность рангов {λ } стремится к нулю; значит, найдется нату- ральное такое, что при всех k > будет выполнено λ < δ . В силу (5) при всех k > имеем:

τ_k) - τ_k) ≤ С ε₀ < ε. Так как здесь ε > 0 любое, то отсюда следует: τ_k) - τ_k) . Здесь {τ_k} - произвольная нормальная последовательность, значит, f удовлетво- ряет сформулированному выше определению. ◄

Следствие. Функция, непрерывная на сегменте, интегрируема на нем.

Действительно, функция непрерывная на сегменте, ограничена на нем (первая теорема Вейерштрасса); значит, она удовлетворяет всем требованиям теоремы 1.

Перечислим основные свойства интегрируемых функций.

1) Сумма и произведение функций f и g, интегрируемых на , интегрируемы на этом промежутке; если > 0, то частное есть функция, интегрируемая на .

2) Если f интегрируема на , то функция С f , где С – любое вещест- венное число, интегрируема на .

3) Пусть a < c < b . Функция f интегрируема на , тогда и только тогда, когда она интегрируема на и на .

Для функций, удовлетворяющих требованиям теоремы 1, справедли- вость этих утверждений очевидна. Так например, пусть две функции f и g удовлетворяют этим требованиям, и потому интегрируемы на . Тогда их сумма h = f + g ограничена на как сумма ограниченных функций, а каждая точка разрыва h ( если такие точки имеются) должна быть точкой раз- рыва хотя бы одной из функций f и g; следовательно, h либо непрерывна, либо имеет конечное количество точек разрыва, и по теореме 1 она интегри- руема на на .

Доказательства утверждений 1) – 3) для произвольных интегрируемых функций довольно грамоздки, и по этой причине здесь не приводятся. Их можно найти в [2] .

Остановимся на еще трех свойствах интегрируемых функций.