1. Определенный интеграл

1.1. Площадь плоской фигуры

Термин “плоская фигура” равнозначен термину “некоторое множество точек плоскости”. Плоскую фигуру называют ограниченной, если можно ука- зать положительное число М такое, что расстояние между любыми двумя точками фигуры не превышает М. В этом пункте все фигуры предполагаются ограниченными. Две фигуры называют конгруентными, если существует движение плоскости (т.е. взаимно однозначное отображение плоскости на се- бя, не меняющее расстояний между точками), при котором одна из фигур отображается на другую.

Площадь фигуры F обозначаем через . Напомним основные свой- ства ( аксиомы) площади.

Аксиома 1. (Неотрицательность площади ) Площадь фигуры есть неотрицательное число.

Аксиома 2. (Аддитивность площади) Площадь обьединения двух не- пересекающихся фигур равна сумме их площадей.

Аксиома 3. (Инвариантность площади) Площади конгруентных фи- гур одинаковы.

Аксиома 4. (Нормированность площади) Площадь квадрата, длина стороны которого равна единице, равна единице.

Выведем следствия из этих аксиом, которые потребуются в дальней- шем.

Теорема 1. (Монотонность площади) Если фигура F₁ содержится в фигуре F₂ , то площадь F₁ не превышает площади F₂.

► Обозначим: . Так как , то , причем и не пересекаются. В силу аксиомы 2. имеем: σ(F₂) = σ(F₁) + σ(F) . По акси- оме 1 σ(F) ; значит, σ(F₂) σ(F₁). ◄

Площадь пустого множества λ равна нулю. Заметим, что существуют и непустые множества, площадь которых также равна нулю.

Пример 1. Площадь ограниченного отрезка прямой равна нулю. Действительно, пусть F – прямолинейный отрезок длины l , а ε – некоторое положительное число. Обозначим через П _ε пря- моугольник с измерениями l и , содержащий отрезок F ( Рис. 1). Так как П _ε ,то σ(F) ≤ σ(П _ε ), т.е. 0 ≤ σ(F) ≤ ε. Но здесь ε – любое положительное число; значит, σ(F) = 0.

Теорема 2. ( Субаддитивность площади) 1) Площадь обьединения двух фигур не превышает суммы их площадей. 2) Если площадь пересе- чения двух фигур равна нулю, то площадь их обьединения равна сумме площадей этих фигур.

► 1) Обозначим: . Имеем (рис.2 ): , В силу аксиомы 2. σ( = σ(F₁) + σ(F) . Так как , то σ(F) ≤ σ(F₂); значит, σ( ≤ σ(F₁) + σ(F₂) .

2) Пусть , . Заметим: , . В силу аксиомы 2 σ( = = σ(F) + σ( ) . Отсюда: σ(F)= σ( - σ( ) . Вос- пользовавшись равенством (см. выше) σ( = = σ(F₁) + σ(F), получим: σ( = σ(F₁) + σ(F) = σ(F₁) + σ( - σ( ). Но σ( )= 0; значит, σ( =σ(F₁) + σ( . ◄

Замечание. Таким образом, равенство σ( = σ(F₁) + σ( имеет место не только в случае непересекающихся фигур F₁ и , но и тогда, когда F₁ и хотя и имеют непустое пересечение, но площадь его равна нулю.

1.2. Разложение функции на неотрицательные составляющие

Пусть на некотором промежутке , ограниченном или неогра- ниченном, определена функция f . Определим на этом промежутке две функ- ции и , положив для всякого ;

Каждая из этих функций неотрицательна на . Мы будем называть и неотрицательными составляющими функции f.

Отметим ряд свойств неотрицательных составляющих.

1. на промежутке .

2. |f(x)| = на промежутке .

3. Пусть g(x) = - f(x) на ; тогда на .

4. Функция f ограничена на тогда и только тогда, когда на ограничены обе её неотрицательные составляющие и .

Справедливость этих утверждений очевидна ввиду определений функ- ций и . Например, если g(x) = - f(x), то при всех х

5. Функция f непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны обе её неотрицательные составляющие и .

► Пусть f непрерывна в точке х₀ ; покажем, что в этой точке непрерывны и . Возможны случаи: f(x₀) > 0, f(x₀) < 0 , f(x₀) =0.

Пусть f(x₀) > 0. Если х₀ – внутренняя точка промежутка , то в силу теоремы о сохранении знака непрерывной функции ([1], стр.55) существует окрестность = (α,β) , α< х₀ <β, такая, что при всех f(x) >0. Тог- да в силу определений и имеем: (х)= f(x), (х) ≡0 на . Отсю- да: непрерывна в х₀ , так как в ней непрерывна f ; непрерывна в х₀ , так как она тождественно равна нулю в окрестности этой точки. Если х₀ совпа -дает с одним из концов промежутка , нужно доказать одностороннюю непрерывность и в этой точке . Рассуждения здесь аналогичны приве- денным выше: так как f непрерывна в конечной точке отрезка, она положи- тельна в односторонней окрестности (b- ε, b] или [a+ε, α) ,где ε - некоторое положительное число; значит, в этой окрествости (х)= f(x), (х) ≡0.

Случай f(x₀) < 0 рассматривается аналогично. Пусть теперь f(x₀) = 0. Тогда ( x₀) = (x₀) = 0. Так как f непрерывна в x₀, то , значит, равен нулю и , т.е. (см. свойство 2) . Оба слага- емые под знаком предела в последнем равенстве неотрицательны, поэтому и , а это и означает непрерывность и в точке x₀.

Итак, если f непрерывна в x₀, то в этой точке непрерывнны и её неотри- цательнык составляющие. Справедливость обратного утверждения очевидна: если и непрерывны в x₀, то и f непрерывна в x_{0 ,} ибо является разностью непрерывных функций и . ◄

Пусть F - некоторая функция, определенная и ограниченая на проме- жутке , а E(F) – множество её значений на . Введем обозначения:

. Если G(x) = - F(x) на , то множества значений E(F) и E(G) располагают- ся на числовой оси симметрично друг другу относительно нуля, и поэтому