Измерение взаимной зависимости

Для измерения взаимной зависимости двух признаков используются коэффициенты корреляции, зависящие от шкал измерения признаков.

Существует 3 основных вида шкал:

1. Номинальная или шкала наименований;

2. Порядковая или ранговая;

3. Количественная.

Среди количественных шкал различают: интервальные и шкалы отношений.

Оба признака заданы в количественной шкале

• Для оценки тесноты связи между признаками используется парный линейный коэффициент корреляции Пирсона, который определяется формулой:

,

где величина _ху называется ковариацией.

Свойства коэффициента корреляции

1. r_xy[-1; 1] или | r_xy | 1.

Чем ближе | r_xy | к 1, тем зависимость между признаками более тесная.

Чем ближе | r_xy | к 0, тем более слабая зависимость между признаками.

Если r_xy < 0,то зависимость обратная.

Если r_xy > 0, то зависимость прямая.

2. r_xy является симметричной характеристикой, т.е. r_xy = r_yх.

• Используется коэффициент корреляции Фехнера:

,

где С, Н – это взвешенные частотами m_ij соответственно число совпадений и несовпадений знаков отклонений значений признаков Х и Y от своих средних значений .

Оба признака заданы в порядковой шкале

В этом случае для анализа статистической зависимости используется коэффициент корреляции Спирмена, который называется коэффициентом корреляции ранга.

Определение. Ранг – порядковый номер значения признака в ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Если некоторые из значений признаков Х или Y равны друг другу, то ранг всех таких значений полагается равным среднему арифметическому из тех номеров мест, которые эти значения занимают в ранжированной совокупности. Такие ранги называют связанными.

В случае отсутствия связанных рангов коэффициент Спирмена вычисляется по формуле:

, – разность рангов.

В случае присутствия связанных рангов используется коэффициент вида:

,

где , ,

р – количество связанных рангов признака Х;

t_i(x) – количество значений признака Х в i-ом связанном ранге;

q – количество связанных рангов признака Y;

t_j(y) – количество значений признака Y в j-ом связанном ранге.

Оба признака заданы в номинальной шкале.

Пусть оба признака заданы в дихотомической шкале, т.е. принимают по два альтернативных значения 0 или 1, да или нет. В этом случае распределение признаков можно представить в виде таблицы

Х\Y	0	1	mx
0	m11	m12	mx0
1	m21	m22	mx1
my	my0	my1	n

m_y0 = m₁₁+ m₂₁; m_y1 = m₁₂+ m₂₂.

• Для определения тесноты связи используются:

Коэффициент ассоциации ;

Коэффициент контингенции .

• Применяют коэффициент корреляции Пирсона:

,

где р_х – доля выборочных значений признака X, равных 1;

р_у – доля выборочных значений признака Y, равных 1;

р_ху – доля вариант (x_i, y_i) с единичными значениями у обоих признаков.