Структурные (порядковые) характеристики.

Квантили – порядковые характеристики, т.е. значения признака занимающие определенное место в ранжированной совокупности.

Определение. Квантилем Q_p порядка р, 0 < p <1, называется такое значение признака в упорядоченной совокупности, которое делит ее в отношении р:(1-р). Если совокупность объема n, то n₁ = np, n₂ = n(1-p), n = n₁ + n₂.

К числу наиболее часто применяемых квантилей относятся:

1. медиана (р=1/2), т.е. делит упорядоченную выборку на 2 равные части;

2. квартиль (р=1/4), т.е. делит упорядоченную выборку на 4 равные части;

3. квинтель (р=1/5), т.е. делит упорядоченную выборку на 5 равных частей;

4. децили (декатили) (р=1/10);

5. процентили (персентили, перцентили) (р=1/100).

Если имеется дискретная выборка значений Х = {x₁, .., x_n}, то их сначала надо упорядочить по возрастанию: x*₁,..., x*_n. Далее медиану находят по формуле:

Ме =

Если рассматривается ИВР, то сначала находится интервал, содержащий медиану, а затем применяют формулу

или ,

где n – объем выборки; h – длина интервала ВР;

х_Ме – левая (нижняя) граница медианного интервала;

– накопленная относительная частота интервала, предшествующего медианному;

– относительная частота медианного интервала.

В случае ИВР аналогичным образом можно записать формулу для вычисления квантиля порядка р.

или ,

где n – объем выборки; h – длина интервала ВР;

х_Qp – левая (нижняя) граница квантильного интервала, порядка р;

– относительная частота квантильного интервала;

– накопленная относительная частота интервала, предшествующего квантильному.

Определение. Мода (Мо) – это значение признака, встречающееся в рассматриваемой совокупности наиболее часто.

Для дискретного ряда мода находится по определению и соответствует варианте с наибольшей частотой.

При определении моды обычно применяют следующие соглашения:

• Если все значения ВР имеют одинаковую частоту, то говорят, что этот ряд не имеет моды.

• Если две соседние варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то мода вычисляется как среднее арифметическое этих вариант.

• Если две несоседние варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой ВР называют бимодальным.

• Если таких вариант больше двух, то ВР называют полимодальным.

Для вычисления моды интервального вариационного ряда сначала необходимо найти модальный интервал. Если рассматривается ИВР с равными интервалами, то модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Далее мода вычисляется по формуле:

, (6)

n – объем выборки; h – длина интервала ВР;

х_Мо – левая (нижняя) граница модального интервала,

w_Мо – относительная частота модального интервала,

w_Мо-1 – относительная частота интервала, предшествующего модальному.

w_Мо+1 – относительная частота интервала, следующего за модальным.

Заметим, что в определении (6) вместо относительных частот можно использовать абсолютные:

.

Показатели вариации

Средние значения не дают полной информации о варьирующем признаке.

Определение. Вариацией называют различие значений признака у индивидуальных элементов изучаемой совокупности.

Для измерения величины вариации используют показатели вариации, которые подразделяются на две группы: абсолютные, относительные.

Абсолютные показатели вариации.

1. Абсолютный размах вариации: R = x_max – x_min.

2. Среднее линейное отклонение

.

2. Выборочная дисперсия

.

4. Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение): .

Дисперсия и стандартное отклонение являются важнейшими и наиболее часто используемыми характеристиками рассеяния среди всех абсолютных показателей вариации.

5. Интерквартильный размах (интерквартильное отклонение) IR = q₃ – q₁

или средний квартильный размах q = (q₃ – q₁)/2.

Относительные показатели вариации.

1. Коэффициент вариации по : .

2. Коэффициент осцилляции: .

3. Линейный коэффициент вариации: .

Иногда вместо среднего используют Ме.

2. Относительное квартильное расстояние: .

Иногда вместо среднего используют Ме.

2. Коэффициент дифференциации: .

Если рассматривается интервальный вариационный ряд, то необходимо сначала перейти к условному дискретному ряду, т.е. найти срединные значения интервалов , а затем вычислить коэффициенты вариации.