Тема. Графическое изображение статистических данных

Определение. Полигоном абсолютных частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₍₁₎, m₁), (x₍₂₎, m₂), …, (x_(k), m_k).

Если вместо абсолютных частот рассматривать относительные частоты, то получим полигон относительных частот.

Замечание. Полигон частот ИВР образуется ломаной линией, соединяющей точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов.

Определение. Гистограммой абсолютных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых служат интервалы длиной h, а высоты равны отношению m_i/h.

Очевидно, что в этом случае площадь каждого прямоугольника-столбика будет равна абсолютной частоте m_i.

Если вместо абсолютных частот взять относительные, то получим гистограмму относительных частот.

Рассмотрим характеристики, которые называются накопленными частотами, и определяются следующим образом:

.

Определение. Кумулятивной кривой (кумулятой) ДВР называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами

(x₍₁₎, m₁ ^c), (x₍₂₎, m₂ ^c), …, (x_(k), m_k ^c).

Кумулятивную кривую можно строить и на основе накопленных относительных частот. В этом случае кумулятивной кривой называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₍₁₎, w₁^c), (x₍₂₎, w₂^c),…,(x_(k), w_k^c).

Определение. Кумулятивной кривой ИВР называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (а₁,0), (а₂, m₁ ^c), …, (а_k+1, m_k ^c).

Кумулятивную кривую ИВР также можно строить и на основе накопленных относительных частот. В этом случае кумулятивной кривой называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами

(а₁, 0), (а₂, w₁ ^c), …, (а_k+1, w_k ^c).

Определение. Кривой концентрации (кривой Лоренца) называют кривую, которая получается в результате нанесения на один график относительных накопленных величин двух взаимосвязанных признаков. Эта кривая показывает степень концентрации отдельных элементов совокупности по группам.

В качестве меры концентрации доходов используется коэффициент К.Джинни K_G., 0  K_G  1. Если K_G = 0, то имеет место равномерное распределение дохода. Чем ближе K_G к 1, тем выше уровень социального неравенства.

Средние величины. Степенные средние.

Общая формула суммальной средней получается из балансового тождества:

(1)

Тождество (1) означает, что левая часть в нем должна оставаться неизменной, если каждое из индивидуальных значений x_i заменить на некоторую постоянную величину, называемую средней и обозначаемую . Вид функции (х) определяет вид средней.

Если (х) = x^р, рZ, то тождество (1) можно записать в виде

(1')

где – степенная средняя порядка р для выборки X = {x₁, x₂,…, x_n}.

Из (1), (1') получаем:

(2)

(3)

Равенство (3) является определением степенной средней порядка р.

р =1 – среднее арифметическое;

р =2 – среднее квадратическое;

р =3 – среднее кубическое;

р =-1 – среднее гармоническое;

р 0 – среднее геометрическое.

Получить формулу для среднего геометрического подстановкой невозможно, поэтому ее определяют как , считая, что .

Формула (3) применяется для несгруппированных данных. Если же данные сгруппированы, то формула (3) преобразуется к виду

= (4)

Если рассматривается интервальное распределение частот, то сначала необходимо вычислить срединные значения интервалов группировки .

Порядок, р	Название	Формула вычисления для несгруппированного ряда	Формула вычисления для сгруппированного ряда
– 1	Средняя гармоническая
0	Средняя геометрическая		,
1	Средняя арифметическая
2	Средняя квадратическая
3	Средняя кубическая

Теорема. Степенная средняя является неубывающей функцией своего порядка:

… … (5)

Равенства в (5) будут иметь место в случае, когда признак Х принимает только одно значение.