5. Применение метода множителей Лагранжа при решении задач оптимизации в электроэнергетике.

Этот метод позволяет отыскать условный (относительный) экстремум непрерывной функции, являющейся максимумом или минимумом при выполне­нии дополнительных условий в форме равенств (урав­нений связи).

Метод множителей Лагранжа дает возможность най­ти такую систему уравнений, которой должен удовлетво­рять экстремум функции f (X₁,..., X_m) на множестве N, определяемом системой уравнений g_i (X) для i=1, 2, ..., т.

Для того чтобы найти точку экстремума, характери­зующуюся на множестве N неким вектором X, необхо­димо найти т чисел λ₁,…, λ_m, которые вместе с векто­ром X удовлетворяли бы следующей системе (т+п) уравнений с (т+п) неизвестными: ; j = 1,…,n; =0; i = 1,…,m.

Эти уравнения получены как условия экстремума функции Лагранжа , где числа λ₁,…, λ_m называются множителями Лагранжа.

Задача заключается в применении метода Лагранжа к определению наивыгоднейших режи­мов энергетических установок, в частности к нахожде­нию оптимального распределения нагрузки между не­сколькими агрегатами. Например, если котельная, имею­щая п котлов, должна выдать тепло в количестве Q, а расход топлива Вi на каждом i-м котле известен, то минимум суммарного расхода топлива устанавливается с помощью метода Лагранжа, позволяющего найти экстремальное значение целевой функции. Для этого, приравнивая нулю частные производные функции Лагранжа, находbv, что усло­вием относительного минимума суммарного расхода топ­лива будет одинаковость (idem) относительных приро­стов расхода топлива всех агрегатов, т. е. величин .

6. 7. Определение оптимального распределения нагр-и между тэс методом множителей Лагранжа. Относительные приросты тэс

Рассмотрим случай чисто тепловой энергосисте­мы и распределение активных нагрузок между ТЭС с учетом потерь активной мощности в электрической се­ти. Система содержит i=1, 2, ..., п тепловых электро­станций, для которых известны расходные характеристи­ки B_i(P_Г,i) и суммарная нагрузка Р_Σ.

Запишем:

1. Целевую функцию .

2. Уравнение связи B_i(P_Г,i).

3. Ограничения ,где — суммарные потери активной мощности.

4. Функция Лагранжа .

Так как выражение во второй скобке равно нулю, то минимумы функции Лагранжа и целевой функции совпадают.

Дифференцируем функцию Лагранжа по переменным и приравниваем производные к нулю, тогда

Отсюда

Обозначим — относительный прирост расхода топлива электростанции показывает, как изменится расход топлива i-й станции, если се нагрузка изменится на величину , – относитель­ный прирост потерь активной мощности в сетях, т. е. величина, показывающая, насколько изменятся потери в сетях, если мощность только i-й станции изменится на .

Применяя эти обозначения, получаем условия наивы­годнейшего распределения нагрузки: .

6. 7. Определение оптимального распределения нагрузки между тэс методом множителей Лагранжа. 7.Относительные пр-ты тэс

При выполнении этого условия минимум функции Лагранжа будет только в том случае, если или Это означает, что характеристики относительных приростов электростанций должны быть монотонно возрастающими.

Энергетические харак­теристики электростанций и агрегатов чаще всего не удовлетворяют ука­занным требованиям. В этом случае они подле­жат «исправлению» по специальной методике.

При неучете потерь активной мощности, т. е. при π = 0, условие наивы­годнейшего распреде­ления нагрузки имеет вид: .

Запишем условия наивы­годнейшего распределения нагрузки в ко­ночных разностях и ум­ножим числители и знаменатель на ΔРг., т. е.

, где – активная мощность, доведенная до потреби­теля.

При наивыгоднейшем распреде­лении нагрузки затраты топлива на мощность в месте ее потребления должны быть равными для всех электростанций.