Критерий u Манна-Уитни

Применим критерий Манна-Уитни к примеру 1 (см. критерий Розенбаума).

Поскольку нам придется расставлять ранги, то приведем здесь соответствующее правило.

Правило ранжирования.

1. Наименьшему значению признака присваивается ранг 1.

2. Большему значению признака присваивается больший ранг по порядку номеров в упорядоченной выборке, кроме случаев, предусмотренных п. 3.

3. Если есть несколько одинаковых значений признака, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому их порядковых номеров.

4. Полученная сумма рангов сверяется с теоретической по формуле

 R =	n (n + 1)
	2

где n — количество ранжируемых значений признака.

Гипотезы формулируются позже, т.к. для этого требуется подсчитать ранговые суммы (см. таб. 2). При применении критерия Манна-Уитни ранжируются все значения признака, как если бы обе группы объединились в одну. Вместе с тем, значения признака и ранги мы записываем по каждой выборке отдельно.

Таблица 2. Подсчет ранговых сумм в экспериментальной и контрольной группах.

n	Экспериментальная группа (n1 = 15)		Контрольная группа (n2 = 13)
	Показатель скорости чтения	Ранг	Показатель скорости чтения	Ранг
1.			48	1
2.			52	2
3.			54	3
4.	56	4,5
5.			56	4,5
6.			57	6
7.	58	8
8.			58	8
9.			58	8
10.	60	10,5
11.			60	10,5
12.	61	12
13.			62	13
14.	63	14,5
15.			63	14,5
16.	65	16
17.			67	17
18.	68	19
19.	68	19
20.	68	19
21.			69	21
22.	70	22
23.			72	23
24.	74	24
25.	75	25
26.	77	26
27.	79	27
28.	80	28
R		274,5		131,5

Суммирование удобно выполнять в программе Excel.

Проверим правильность подсчета полученных ранговых сумм.

 R =	n (n + 1)	=	28 (28 + 1)	=	406	=	274,5 + 131,5
	2		2

Суммы рангов посчитаны верно.

Теперь можно сформулировать гипотезы. В данном случае они будут такими же, как при применении критерия Розенбаума.

Н₀: скорость чтения у учащихся, прошедших обучение по экспериментальной методике, не больше, чем у школьников, обучавшихся по традиционной методике.

Н₁: скорость чтения у учащихся, прошедших обучение по экспериментальной методике, больше, чем у школьников, обучавшихся по традиционной методике.

Вычислим эмпирическое значение критерия по формуле:

Uэмп = n1 ∙ n2 +	nx ∙ (nx + 1)	–  Rx
	2

где n₁ — количество испытуемых в первой выборке;

n₂ — количество испытуемых во второй выборке;

n_х — количество испытуемых в выборке с большей суммой рангов;

 R_x — большая из двух сумм рангов.

Для нашего примера U_эмп вычисляем так:

Uэмп = 15 ∙ 13 +	15 ∙ (15 + 1)	– 274,5 = 40,5
	2

Обратите внимание на то, что n_х — это не большее из двух выборок количество испытуемых, а количество испытуемых в выборке с большей суммой рангов. В данном случае n_х = n₁, т.к. в первой выборке сумма рангов больше, чем во второй.

Но мы еще не можем сверить полученное эмпирическое значение критерия с критическими. Если n₁  n₂, а у нас именно такой случай, то надо сделать проверку, подставив в формулу для нахождения эмпирического значения вместо n_х и R_x оставшиеся значения:

Uэмп = 15 ∙ 13 +	13 ∙ (13 + 1)	– 131,5 = 154,5
	2

Из двух полученных U_эмп надо выбрать меньшее. В данном случае проверка ничего не дала, и мы выбираем первое U_эмп = 40,5.

По таблице находим:

	61 (p ≤ 0,05)
Uкр =
	47 (p ≤ 0,01)

Критерий Манна-Уитни относится к исключениям (см. правило отклонения Н₀ и принятия Н₁), поэтому «ось значимости» будет выглядеть так:

40,5 47 61 U Uэмп Uкр 0,01 Uкр 0,05

По правилу отклонения Н₀ и принятия Н₁ (см. исключения), если U_эмп ≤ U_{кр 0,01}, то принимаем Н₁ (p ≤ 0,01). (Критическое значение для p ≤ 0,001 не определено, поэтому оно не учитывается.)

Вывод. Скорость чтения у учащихся, прошедших обучение по экспериментальной методике, больше, чем у школьников, обучавшихся по традиционной методике (p ≤ 0,01).

Этот пример подтверждает большую мощность критерия Манна-Уитни по сравнению с критерием Розенбаума: с помощью критерия Q различия между выборками установлены только на уровне статистической значимости p ≤ 0,05, а с помощью критерия — на уровне p ≤ 0,01.