3. Экспоненциальное сглаживание (адаптивная модель прогнозирования Брауна)

Реакция на ошибку прогноза и дисконтирование уровней временного ряда в модели Брауна определяется с помощью параметров сглаживания (адаптации) - , значения которых могут изменяться от 0 до 1.

Высокое значение параметров (свыше 0,5) означает придание большего веса последним уровням ряда, а низкое (менее 0,5) – предшествующим наблюдениям. Первый случай соответствует быстроизменяющимся динамичным процессам, второй – более стабильным.

Рассмотрим этапы построения линейной адаптивной модели Брауна:

Этап 1. По первым пяти точкам временного ряда оцениваются начальные значения и параметров модели с помощью метода наименьших квадратов для линейной аппроксимации

,

Прогноз можно получить, используя вспомогательную таблицу 1.1.

Таблица 1.1.

Оценка параметров модели Брауна

0		3302,10	19,70
1	3333	3323,59	21,49	3321,80	11,2
2	3337	3343,79	20,20	3345,08	-8,08
3	3354	3362,39	18,60	3363,99	-9,99
4	3364	3378,27	15,88	3380,99	-16,99
	3418	3397,97	19,70	3394,15	23,85
				3417,67

Этап 2. С использованием параметров и по модели Брауна находим прогноз на один шаг :

Таблица 1.2.

Оценка начальных значений параметров модели

1	3333	(1-3)=-2	-28,2	(1-3)2=4	56,4
2	3337	(2-3)=-1	-24,2	(2-3)2=1	24,2
3	3354	(3-3)=0	-7,2	(3-3)2=0	0
4	3364	(4-3)=1	2,8	(4-3)2=1	2,8
5	3418	(5-3)=4	56,8	(5-3)2=4	113,6
		0	0	10	197

где

- среднее значение фактора «время» =3;

- среднее значение исследуемого показателя

Отсюда, для первого шага Y_p(1)=3302.1+19.7=3321.8

Этап 3. Расчетное значение экономического показателя сравнивают с фактическим и вычисляется величина их расхождения (ошибки).

При имеем:

Этап 4. В соответствии с этой величиной корректируются параметры модели. В модели Брауна модификация осуществляется следующим образом:

где - коэффициент дисконтирования данных, (0-1) характеризующий обесценение данных за единицу времени и отражающий степень доверия более поздним наблюдениям.

- ошибка прогнозирования уровня , вычисленная в момент времени на один шаг вперед.

При =0,6 для t=1 А₀(1)=3321,8+(1-0,6)²11,2=3323,59

А₁(1)=19,7+(1-0,6)²11,2=21,49, и т.д.

Этап 5. По модели со скорректированными параметрами и находят прогноз на следующий момент времени.

Возврат на пункт 3, если t<k , (где k - длина временного ряда), если t=k, то построенную модель можно использовать для прогнозирования на будущее.

Прогноз на основании трендовых моделей (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз – это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя.

Оно определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения: и т.д.

Точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, т.е. указанием интервала значений, в котором с достаточной вероятностью можно ожидать появления прогнозируемой величины, т.е. интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов.

Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности.