§9. Смешанное произведение трех векторов

Смешанным или скалярно-векторным произведением трех векторов, взятых в указанном порядке, называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго и третьего.

Обозначение: .

Таким образом, по определению

.

Смешанное произведение – это число!

Геометрические свойства

смешанного умножения векторов

Г1⁰. , , компланарны.

Пусть . Тогда .

По определению векторного произведения и .

Следовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны.

Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны.

,  , а так как || , то  ,

т.е. .

Г2⁰ (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , , - правая, , если тройка , , - левая.

Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25).

. Пусть .

Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26).

Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.

а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис , , , то (рис. 26, а)  < 90⁰  cos >0    .

Итак, .

б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то (рис. 26, б)  > 90⁰    .

Итак, .

Из пунктов а) и б) следует, что .

Алгебраические свойства смешанного умножения векторов

А1⁰. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. V.

Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.

, V.

Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г2⁰ к и к . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах и , во втором – на векторах и ).

Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А1⁰ векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:

.

А2⁰. V .

Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:

; ; .

Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

А3⁰. ;

;

.

Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

Замечание. Смешанное произведение .

, т.к. .

Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если , , в базисе , , , то .

.