Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
§1. Понятие вектора
Направленным
отрезком
называется отрезок, у которого указаны
начало и конец. Обозначение:
Вектором
называется направленный отрезок.
Обозначение:
(рис. 1).
Вектор называется
нулевым,
если его начало и конец совпадают.
Обозначение:
.
Векторы
и
называются сонаправленными
(противоположно направленными),
если лучи [AB)
и [CD)
сонаправлены (противоположно направлены).
Обозначение:
(
).
На рис. 2
,
.
Векторы
и
называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых. Обозначение:
||
.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Векторы
и
называются компланарными,
если существует плоскость, которой они
параллельны.
Длиной
вектора называется расстояние между
его началом и концом. Обозначение длины
вектора
:
.
Длина нулевого
вектора равна 0, т.е.
.
Вектор называется единичным, если его длина равна единице.
В пространстве существует бесконечное множество единичных векторов.
Два вектора
называются равными,
если они сонаправлены и длины их равны.
Обозначение:
.
Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и длины их равны.
Вектор, противоположный
вектору
,
обозначается
.
Откладыванием
вектора
от точки А
называется
процесс построения такой точки М,
что
.
В
,
исходящий из точки А
и сонаправленный с вектором
(рис. 3). Затем на луче
откладывают с помощью циркуля отрезок
АМ, длина
которого равна длине вектора
.
Вектор
искомый, т.е.
.
М
А
Рис.
3
§2. Сложение и вычитание векторов
Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.
Результатом
сложения векторов является их сумма.
Сумма векторов
и
обозначается
.
Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.
Правило треугольника
Чтобы сложить
векторы
и
,
надо взять произвольную точку и от нее
отложить последовательно
сначала вектор
,
затем вектор
.
Вектор, начало которого совпадает с
началом вектора
(т.е. первого вектора), а конец – с концом
вектора
(т.е. второго вектора), есть искомая
сумма. На рис. 4
.
По правилу треугольника можно складывать любые векторы.
Коротко правило треугольника можно записать так:
для
любых трех точек А,В
и С
.
Правило параллелограмма
Чтобы сложить
векторы
и
,
надо привести их к общему началу, т.е.
взять произвольную точку А,
построить такие точки В
и С,
что
и
,
и достроить полученную фигуру до
параллелограмма
.
Вектор
- искомая сумма (рис. 5).
По правилу параллелограмма можно складывать только неколлинеарные векторы.
Свойства сложения векторов:
10.
.
20.
.
30.
.
40.
.
Суммой трех
векторов
и
называется вектор
.
Учитывая свойство 40,
скобки можно опустить и обозначать
сумму в виде
.
Суммой n
векторов
называется вектор
и обозначается
так:
.
При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.