Плохотников К.Э. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ. Теория и практика в среде MATLAB

Лекция №15 Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) Случайные величины

Метод статистических испытаний или метод Монте-Карло занимается использованием случайных чисел для решения различных математических задач: интерполяции, вычисления интегралов, решение дифференциальных и интегральных уравнений, решения систем линейных уравнений, поиска экстремумов, моделирования тех или иных процессов и для решения многих других задач. Преимущество метода Монте-Карло, в котором используются недетерминированные процедуры, особенно ярко проявляются при решении задач большой размерности, когда использование обычных детерминированных методов затруднительно или вовсе невозможно. По мере развития вычислительной техники граница между возможным и невозможным сдвигается в сторону невозможности, но всегда остается. Основным недостатком метода Монте-Карло является его медленная сходимость, что вынуждает учитывать баланс между точностью результатов и затратами машинного времени.

Величину  называют случайной с плотностью распределения (x), если вероятность того, что величина примет значение между x₁ и x₂ равна . В силу определения вероятности, (x) неотрицательна и нормирована на единицу, т.е.

. (1)

Если значения  всегда заключены между a и b, то (x) = 0 вне данных пределов. В этом случае интеграл в (1) следует брать по отрезку [a,b].

Случайная величина  может быть дискретной, т.е. принимать только вполне определенные значения x_i с вероятностью _i. Дискретную величину можно формально объединить с непрерывной, считая

,

где — дельта-функция.

Если по значениям случайной величины  вычисляют какую-либо функцию f(), то значения данной функции также будут случайными. Данную функцию иногда называют случайной.

Равномерно распределенная величина. Рассмотрим случайную функцию

, (2)

которая принимает значения из отрезка [0,1] и монотонно зависит от . Вероятность того, что  лежит между ₁ = (₁) и ₂ = (₂), равна вероятности того, что  лежит между ₁ и ₂. Вероятность того, что   [₁,₂] равна согласно (2) = ₂  ₁, т.е. эта вероятность равна длине отрезка [₁,₂] и не зависит от положения отрезка. Другими словами, величина () принимает с равной вероятностью любые значения из отрезка [0,1]. Плотность распределения такой случайной величины  равна

Разыгрывание случайной величины

Рассмотрим в общих чертах процедуру моделирования равномерно распределенная случайная величина . Выберем какое-либо устройство, на выходе которого могут появляться с равной вероятностью ½ две цифры 0 и 1. В качестве такого устройства можно выбрать монету, игральную кость (четно — 0, нечетно — 1) или специальный генератор, на основе подсчета числа (четно или нечетно) радиоактивных распадов, всплесков радиошума за определенное время и т.п.

Запишем  как двоичную дробь  = 0,₁₂… и на место разрядов числа  после запятой поставим значения, которые выдает генератор, например,  = 0,0011001110101… Поскольку на первом месте после запятой 0 и 1 могут оказаться с равной вероятностью, постольку итоговое число может с равной вероятностью оказаться в левой и правой половинах единичного отрезка. Аналогично во втором разряде 0 и 1 могут оказаться с равной вероятностью, т.е. итоговое число может оказаться в одной из пары четвертей левой или пары четвертей правой половин и т.д. Таким образом, двоичная дробь со случайными цифрами 0 и 1 в разрядах действительно с равной вероятностью принимает любое значение на полуинтервале [0,1).

Реально моделируется только конечное количество разрядов k. По этой причине распределение будет не вполне равномерным. Так, математическое ожидание M окажется меньше ½ на величину ~2^k 1, т.к. значение  = 0 возможно, а  = 1 невозможно. Чтобы этот фактор не сказывался, достаточно брать случайные числа при достаточно большом числе разрядов k. Поскольку в методе статистических испытаний точность ответа обычно не превышает 0,1% = 10^3, то достаточно ограничиться условием 2^k < 10^3, что выполняется при k > 10. Последнее условие на современных компьютерах выполнено с большим запасом.

Псевдослучайные числа. Генераторы случайных чисел, основанные на тех или иных физических процессах, несвободны от различного рода систематических ошибок: несимметричность монеты, дрейф нуля в электронике и т.п. По этой причине качество выдаваемых ими случайных чисел проверяется различного рода специальными тестами.

Простейший тест состоит в вычислении для каждого разряда относительной частоты появления нуля (или единицы). Если относительная частота заметно отличается от ½, то имеется систематическая ошибка, если частота слишком близка к ½, то числа не случайные и есть какая-либо закономерность. Более сложные тесты сводятся к подсчету коэффициентов корреляции последовательных чисел

(3)

или групп разрядов в пределах одного числа. Все эти коэффициенты корреляции должны быть близки к нулю.

Если какая-либо последовательность чисел удовлетворяет данным тестам, то ее можно использовать в расчетах по методу Монте-Карло, не учитывая, каким способом она получена. Разработано огромное количество алгоритмов построения таких последовательностей. Символически эти алгоритмы можно представить в виде следующей рекуррентной зависимости:

, (4)

где r = 1,2,…

Числа, генерируемые согласно рекуррентному процессу (4) называются псевдослучайными. Для каждого алгоритма (4) есть свое предельное число членов последовательности, которое допустимо использовать в расчетах. При большем числе членов теряется случайность, например, числа начинают повторяться и последовательность становится периодической.

Применим данные тесты к генератору равномерно распределенных на отрезке [0,1] случайных чисел, представленному в MATLAB функцией rand. На листинге_№1 приведен код программы по тестированию генератора псевдослучайных чисел rand. Было запрограммировано два теста. Согласно первому тесту, в наборе случайных чисел формата 0,₁₂…, представленных в десятичной форме записи, в k-м разряде подсчитывалась частота попадания числа в левую или правую половину отрезка [0,1]. Попадание в левую или правую половину отрезка определялось путем проверки выполнения или не выполнения неравенства _k  4. Согласно второму тесту, оценивался коэффициент корреляции  по формуле (3) между двумя подпоследовательностями {₁,₂,…,_N1} и {₂,₃,…,_N} одной и той же последовательности {₁,₂,…,_N}.

Листинг_№1

%Тестирование генератора rand равномерно

%распределенных на отрезке [0,1] случайных чисел

clear all

%Определяем максимальную степень двойки nmax числа

%псевдослучайных чисел и номер разряда k, в котором

%будет подсчитано число попаданий чисел

%последовательности в левую или правую

%половину отрезка [0,1]

nmax=15; k=10;

%Организуем цикл расчетов с последовательностями

%псевдослучайных чисел разной длины

for n=1:nmax

%Определяем длину последовательности

%псевдослучайных чисел, как степень двойки

N=2^n;

%Генерируем с помощью функции rand

%последовательность чисел длины N

gamma=rand(1,N);

%Тест №1

%Определяем счетчики числа попаданий в левую cl и

%правую половины cr отрезка [0,1]

cl=0; cr=0;

for i=1:N

%Выделяем k-й разряд случайного числа

g=10^k*gamma(i);

g=mod(g,10);

s=g-mod(g,1);

if s<=4

cl=cl+1;

else

cr=cr+1;

end

end

%Запоминаем число попаданий в левую и правую

%половины отрезка [0,1]

frl(n)=cl/N; frr(n)=cr/N;

%Тест №2

%Определяем две подпоследовательности

%gamma1 и gamma2

for i=1:(N-1)

gamma1(i)=gamma(i);

gamma2(i)=gamma(i+1);

end

%Вычисляем коэффициент корреляции kappa между

%парой подпоследовательностей

covar=0; s1=0; s2=0;

for i=1:(N-1)

covar=covar+(gamma1(i)-0.5)*(gamma2(i)-0.5);

s1=s1+(gamma1(i)-0.5)^2;

s2=s2+(gamma2(i)-0.5)^2;

end

kappa(n)=covar/sqrt(s1*s2);

lng(n)=N;

end

%Рисуем график числа попаданий в левую и правую

%половины отрезка [0,1] в к-м разряде от длины

%последовательности чисел lng

subplot(1,2,1); semilogx(lng,frl,lng,frr,'--');

%Рисуем график коэффициента корреляции от длины

%последовательности случайных чисел lng

subplot(1,2,2); loglog(lng,abs(kappa));

На рис.1 приведен итог работы кода программы листинга_№1. На левом рисунке представлены два графика частоты попадания k-го разряда в левую или правую половину отрезка [0,1]. В расчете выбирался десятый разряд, т.е. k =10. Видно, что, по мере увеличения длины последовательности псевдослучайных чисел, частоты стремятся к предельному значению ½. На правом рисунке представлена зависимость коэффициента корреляции от длины последовательности псевдослучайных чисел. Видно, что, по мере роста длины последовательности, коэффициент корреляции в среднем уменьшается и стремится к нулю.

Рис.1. Тестирование MATLAB датчика псевдослучайных чисел rand

Наиболее употребителен алгоритм, связанный с выделением дробной части произведения

, (5)

где {,} — функция возврата дробной части числа, A — считается очень большой константой. Качество псевдослучайных чисел сильно зависит от выбора числа A, в двоичной записи оно должно иметь достаточно случайный вид. Величина начального приближения ₀ слабо влияет на последовательность псевдослучайных чисел, хотя и находятся такие ₀, которые приводят к неудовлетворительным последовательностям. В таблице ниже приведены некоторые ранее апробированные значения параметров A и ₀.

Некоторые значения параметров генератора псевдослучайных чисел (5)
A	513	517	517
0	236	240	242

На листинге_№2 приведен код программы тестирования датчика псевдослучайных чисел (5) при двух значениях параметров A и ₀.

Листинг_№2

%Тестирование простейших датчиков псевдослучайных

%чисел (5) при различных значениях констант A и gamma0

clear all

%Определяем длину последовательности псевдослучайных

%чисел

N=10^4;

%Задаем значения констант A и gamma0

A=[5^13 170]; gamma0=[2^(-36) 0.01];

%Организуем цикл расчетов с различными значениями

%констант A и gamma0

for s=1:length(A)

%Генерируем последовательность псевдослучайных

%чисел, согласно алгоритму (5)

gamma(1)=mod(A(s)*gamma0(s),1);

for i=2:N

gamma(i)=mod(A(s)*gamma(i-1),1);

end

%Строим точечную диаграмму в координатах gamma(i-1)

%и gamma(i) соответственно

subplot(1,2,s);

plot(gamma([1:(N-1)]),gamma([2:N]),'.');

%Тест №1

%Определяем счетчики числа попаданий в левую cl и

%правую половины cr отрезка [0,1] в к-ом разряде

k=10; cl=0; cr=0;

for i=1:N

%Выделяем k-й разряд случайного числа

g=10^k*gamma(i);

g=mod(g,10);

s=g-mod(g,1);

if s<=4

cl=cl+1;

else

cr=cr+1;

end

end

%Запоминаем число попаданий в левую и правую

%половины отрезка [0,1]

frl=cl/N; frr=cr/N;

%Тест №2

%Определяем две подпоследовательности

%gamma1 и gamma2

for i=1:(N-1)

gamma1(i)=gamma(i);

gamma2(i)=gamma(i+1);

end

%Вычисляем коэффициент корреляции kappa между

%парой подпоследовательностей

covar=0; s1=0; s2=0;

for i=1:(N-1)

covar=covar+(gamma1(i)-0.5)*(gamma2(i)-0.5);

s1=s1+(gamma1(i)-0.5)^2;

s2=s2+(gamma2(i)-0.5)^2;

end

kappa=covar/sqrt(s1*s2);

%Выводим при выбранных значениях констант A и gamma0

%число попаданий в левую и правую половины отрезка [0,1]

%в k-ом разряде, а также коэффициент корреляции kappa

[frl frr kappa]

end

Код программы листинга_№2 генерирует два графика — две точечные диаграммы в координатах , представленных на рис.2. На левой диаграмме точки плотно покрывают единичный квадрат, что говорит о хорошем качестве данного набора псевдослучайных чисел. На правом графике имеет место зацикливание процесса (_i = 0 при i > 47), точки не могут плотно покрыть единичный квадрат, что говорит о плохом качестве псевдослучайных чисел при выборе параметров A = 170 и ₀ = 0.01.

Рис.2. Точечные диаграммы рекуррентных алгоритмов (5) при двух различных парах параметров A и ₀

Кроме диаграмм рассеяния, представленных на рис.2, код программы листинга_№2 возвращает частоты попадания десятого разряда псевдослучайных чисел в левую и правую половины отрезка [0,1], а также коэффициент корреляции, вычисленный согласно формуле (3). Ниже представлены соответствующие численные значения обоих тестов для двух пар параметров A и ₀:

A = 5¹³, ₀ = 2^36:

0.50100000000000 0.49900000000000 -0.00450974364702

A = 170, ₀ = 0.01:

0.99780000000000 0.00220000000000 0.99885276017610

Анализ этих данных показывает, что набор псевдослучайных чисел, полученный в соответствии с первой парой значений A = 5¹³, ₀ = 2^36, удовлетворяет обоим тестам. Вторая пара значений параметров A = 170, ₀ = 0.01 приводит к набору чисел, которые не удовлетворяют ни первому (превалирует попадание десятого разряда в левую половину отрезка [0,1]), ни второму тестам (коэффициент корреляции близок к единице).

Произвольное распределение. Для разыгрывания случайной величины с неравномерным распределением (x) воспользуемся формулой (2). Выберем случайным образом _i и найдем _i из уравнения

. (6)

В качестве примера рассмотрим распределение с . В этом случае уравнение (6) легко решается и находится ответ:

(7)

На листинге_№3 приведен код программы, которая разыгрывает случайные величины _i с законом распределения .

Листинг_№3

%Разыгрывание случайной величины xi,

%распределенной по закону 0.5*exp(-abs(x))

%согласно формуле (7)

clear all

%Определяем длину последовательности

N=10^4;

%Организуем цикл генерации последовательности

%псевдослучайных чисел с законом распределения

%0.5*exp(-abs(x))

for i=1:N

gamma=rand;

if gamma>=0.5

xi(i)=log(1.0/(2-2*gamma));

else

xi(i)=log(2*gamma);

end

end

x=-10:0.05:10;

%Рисуем гистограмму совокупности чисел xi

hist(xi,x);

Итогом работы кода программы листинга_№3 является гистограмма, моделирующая плотность распределения полученной совокупности псевдослучайных чисел. На гистограмме по оси ординат отложено число членов из исходной совокупности, которые попадают в определенный интервал оси абсцисс. Интервал определяется массивом x в программе листинга_№3. Визуально видна схожесть гистограммы и графика функции плотности распределения .

Рис.3. Гистограмма распределения псевдослучайных чисел, построенных согласно формуле (7)