Некорректные задачи

Регуляризация. Если правая часть нелинейного интегрального уравнения не зависит от решения, которое, таким образов, входит лишь под знак интеграла, то задача оказывается некорректно поставленной.

Классическими примерами некорректных задач являются уравнение Фредгольма первого рода

(35)

и уравнение Вольтерра первого рода

. (36)

В отличие от уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода, ядро уравнения первого рода (35) определено на прямоугольнике (x,)  [c,d][a,b], а ядро уравнения (36) — на трапеции (x,)  [c,d][a,x] при c < a или на двух треугольниках при c > a. При этом функции u() и f(x) определены на разных отрезках и принадлежат разным классам функций.

Покажем, что уравнение Фредгольма первого рода (35) неустойчиво по правой части и, тем самым, является некорректным. Рассмотрим возмущение решения u() специального вида, а именно u() = exp(i). Данному возмущению соответствует возмущение правой части вида:

.

Интегрируя последний интеграл по частям, находим

,

т.е. для достаточно больших частот || >> 1 величина может быть как угодно малой. Таким образом, существуют такие сколь угодно малые возмущения правой части f(x), которым соответствуют большие возмущения решения u(), т.е. уравнение Фредгольма первого рода (35) является некорректным. Для уравнения Вольтерра (36) справедливы те же рассуждения относительно устойчивости по правой части.

Отметим, что с некорректной задачей мы уже сталкивались, осуществляя численное дифференцирование в лекции №3. Действительно численное дифференцирование некоторой функции f(x) сводится к решению уравнения

, (37)

которое является частным случаем уравнения Вольтерра первого рода с ядром K(x,) = 1 при   x.

Задачи (35), (36) имеют решения не при любых непрерывных правых частях. Например, задача (37) имеет решение только для дифференцируемых правых частей . Другой пример дает уравнение (35), когда ядро является вырожденным типа (27). В этом случае правая часть f(x) должна быть представима в виде:

. (38)

Таким образом, согласно (38), уравнение (35) имеет решения лишь для таких правых частей , которые представимы в виде (38). Для других правых частей решение задачи (35) не существует.

Приведенные выше два примера говорят о том, что даже если решения задач (35), (36) и существуют при некоторых правых частях , всегда найдутся такие возмущения f(x) правых частей, при которых решения не существуют. Из этого ясно, что решать некорректные задачи при неточно заданных правых частях бессмысленно. Если правая часть задана с погрешностью f(x), то соответствующее решение либо не существует, либо отличается от искомого решения на величину , которая может быть большой. Даже в том случае, когда правая часть задана точно, а решение находится одним из численных методов, неизбежны ошибки округления, что может привести к большой погрешности решения.

Определим регуляризирующий алгоритм. Пусть требуется найти решение u() некорректной задачи:

, (39)

где A — некоторый оператор,, U и F — нормированные пространства. Предполагается, что для произвольной правой части f(x)  F решение задачи (39) может не существовать. Однако могут существовать некоторые правые части , для которых существует решение .

Наряду с задачей (39), рассмотрим задачу

, (40)

в которую введен дополнительный член с малым положительным параметром регуляризации .

Определение. Оператор A_ называют регуляризирующим, если 1) задача (40) является корректно поставленной в классе правых частей F при любом (не слишком большом)  > 0 и 2) для любого  > 0 существуют такие функции () и (), что если , то .

Отметим, что выбор функций () и () зависит, в том числе и от . Итак, если найден регуляризирующий оператор A_, то задача (40) имеет решение для любых правых частей f(x)  F, в том числе и для тех, которые отличаются от на любую величину погрешности f(x), т.е. задача является устойчивой и корректной и она может быть решена обычными вычислительными методами. При правильно подобранном значении параметра  решение задачи (40) будет мало отличаться от интересующего нас решения задачи (39).

Различают регуляризацию слабую, сильную и p-го порядка гладкости в зависимости от того является ли пространство U гильбертовым, чебышевским или пространством C^(p) соответственно.

Вариационный метод регуляризации состоит в сведении исходной задачи (35) к вариационной задаче:

, (41)

где

. (42)

Рассмотрим модифицированную задачу (41) согласно формуле:

, (41)

где определен так называемый тихоновский стабилизатор n-го порядка _n, имеющий следующий вид:

. (42)

В (42) весовые функции p_k() считаются непрерывными и положительными, а если нет специальных условий для их определения, то они полагаются единичными.

Если ввести на множестве функций U норму , то данное пространство называют пространством Соболева . Множество правых частей будем считать гильбертовым пространством. Покажем, что задача (41) является регуляризирующей для решения некорректной задачи (35).

Теорема №1. Задача (41) имеет решение u_() при любых f(x) и  > 0.

Доказательство. При  > 0 функционал ограничен снизу и при заданных  и f(x) имеет точную нижнюю грань. Выберем некоторую минимизирующую последовательность u_i(), i = 0,1,2,… так, чтобы последовательность не возрастала, при этом

,

тогда

. (43)

Согласно (43), последовательность u_i(), i = 0,1,2,… принадлежит множеству функций u(), которые определяются условием . Последнее множество является компактом в U. Поэтому из последовательности u_i(), i = 0,1,2,… можно выделить подпоследовательность , k = 0,1,2,…, которая сходится по норме к некоторой . В силу непрерывности функционал на функции достигает свой нижней грани, т.е. функция является решением задачи (41), (42). Доказательство завершено.

Теорема №2. Задача (41), (42) является регуляризирующей для задачи (41).

Доказательство. Введем обозначения: пусть — решение исходной задачи (41), — решение модифицированной задачи (41) с приближенной правой частью . Определим также функцию .

Поскольку функционал достигает минимума на , постольку . Учитывая последнее неравенство и определение функционала (41), получим

(44)

Пусть приближенная правая часть удовлетворяет условию

, (45)

где C = const. Подставляя (45) в (44), находим

,

где . Таким образом, решение регуляризированной задачи принадлежит компактному множеству U₀ функций из U. Тому же множеству U₀ принадлежит и решение исходной задачи .

Пусть F₀ — множество функций , которые являются образом множества U₀ при отображении A, т.е. A: U₀  F₀. Будем предполагать, что интегральный оператор A непрерывен и обратное отображение единственно. При этих условиях обратное отображение F₀ в компактное множество U₀ при помощи оператора A^1 непрерывно в . Таким образом, для произвольного  > 0 найдется такое (), что если , то .

Учитывая (44), получим

.

С учетом последнего неравенства и неравенства (45), найдем

. (46)

Выберем параметр  так, чтобы выполнялось неравенство

  ₀(), (47)

где . В этом случае правая часть неравенства (46) будет меньше (), откуда следует, что .

Таким образом, по заданному  нашлось такое ₀() и такое , что если   ₀() и , то , что и требовалось доказать.

Следствие. Задача (41), (42) корректно поставлена.

Подставим в теорему №2 всюду вместо оператора A регуляризованный оператор, соответствующий решению задачи (41), (42). В этом случае малость означает, что регуляризованное решение непрерывно зависит от правой части .

Выбор параметра  состоит в поиске среднего значения между слишком малым и слишком большим значениями. В ряде прикладных задач известно, что правая часть имеет характерную погрешность . Если в этом случае выбрать параметр  настолько малым, что нарушится условие (45), то устойчивость расчета может оказаться недостаточной и регуляризованное решение будет заметно “разболтанным”. Если же параметр  настолько велик, что нарушается критерий (47), то регуляризованное решение будет чрезмерно сглаженным. На практике проводят расчеты с несколькими значениями параметра . Из полученных результатов выбирают наилучший согласно какому-нибудь правдоподобному критерию.

Выбор n. При чрезмерно большом n регуляризованное решение сильно сглаживается. Значение n = 0 обеспечивает среднеквадратическую сходимость к . По этой причине наиболее часто используют n = 1.

Уравнение Эйлера. Перепишем задачу (41), (42) в развернутом виде:

. (48)

Составим для задачи (48) уравнения Эйлера путем приравнивания к нулю вариации левой части по u():

(49)

Интегралы, стоящие под знаком суммы в (49), вычислим последовательным интегрированием по частям:

(50)

Подставляя (50) в (49) и меняя порядок суммирования в двойной сумме, найдем

Приравнивая в этом выражении коэффициенты при вариации u() к нулю, найдем искомое интегро-дифференциальное уравнение Эйлера

, (51)

с ядром и правой часть

(51)

и краевыми условиями

. (51)

Отметим, что ядро Q(,) определено в квадрате [a,b][a,b] симметрично и непрерывно, а правая часть () непрерывна.

Докажем, что задача (41), (42) в форме уравнения Эйлера (51) является регуляризирующим алгоритмом.

Теорема №1. Задача (51) — (51) корректно поставлена при любом  > 0.

Доказательство. В начале рассмотрим простейший случай n = 0. Тогда производные неизвестной функции в уравнении (51) и граничные условия (51) исчезнут и уравнение (51) превратиться в интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

(52)

с ядром и правой частью (51).

Обозначим через _i, u_i() — i-ое собственное значение и собственную функцию ядра Q(,). В силу определения ядра в (51) имеем

. (53)

Умножая уравнение (53) на u_i() и интегрируя, найдем

,

т.е. все собственные значения ядра Q(,) положительны. По этой причине и согласно теории интегральных уравнений Фредгольма, при любом  > 0 уравнение (52) имеет решение u_(), которое единственно и непрерывно зависит от правой части () и, тем самым, от f(x). В итоге, при n = 0 задача (52) и эквивалентная ей задача (41) корректны.

При n > 0 задачу (51) — (51) также можно свести к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, ядро которого имеет положительные собственные значения. Чтобы это увидеть, построим функцию Грина G(,) для дифференциального оператора, стоящего в левой части (51), при учете краевых условий (51). Рассматривая все остальные члены уравнения (51) как правую часть и используя функцию Грина, найдем

.

Таким образом, задача (51) — (51) корректна при любом n, когда  > 0, что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример решения уравнения Фредгольма первого рода

(54)

в квадрате (x,)  [0,1][0,1] с ядром и правой частью вида:

. (54)

Задача (54), (54) имеет аналитическое решение . Задачу (54), (54) решим методом регуляризации при n = 0, т.е. путем решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода (53) с ядром и правой частью, определенных в (51). Учитывая (51), (52), (54), решение задачи (54), (54) сведем к решению уравнения Фредгольма второго рода:

, (55)

где

. (55)

Для численного решения уравнения (55) введем равномерные сетки по переменным  и : _i = h(i  1), _j = h(j  1), h = 1/(N  1), i,j = 1,2,…,N. Интеграл, входящий в уравнение (55), аппроксимируем по формуле трапеции, тогда получим следующую разностную схему:

, (56)

где , , , i,j = 1,2,…,N.

На листинге_№7 приведен код программы решения задачи (54), (54) методом регуляризации, т.е. путем сведения исходной задачи к решению уравнения Фредгольма второго рода (55) с параметром регуляризации  > 0.