8. Задача проверки статистической гипотезы

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, которое можно проверить по выборке. Как правило, статистические гипотезы делят на гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.

Пусть – закон распределения случайной величины X, зависящий от одного параметра . Предположим, что наша гипотеза состоит в утверждении, что . Назовём эту гипотезу нулевой и обозначим её . Альтернативной, или конкурирующей гипотезой, которую обозначим , будет . Перед нами стоит задача проверки гипотезы относительно конкурирующей гипотезы на основании выборки, состоящей из n независимых наблюдений X₁, X₂,…, X_n. Следовательно, всё возможное множество выборок объёма n можно разделить на два непересекающихся подмножества О и W таких, что проверяемая гипотеза должна быть отвергнута, если наблюдаемая выборка попадает в подмножество W  и принята, если выборка принадлежит подмножеству О. Подмножество О называют областью допустимых значений, а подмножество W – критической областью. При формировании критической области возможны ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, нулевая гипотеза отвергается, то есть принимается гипотеза , в то время как в действительности верна гипотеза  .

Ошибка второго рода  состоит в том, что принимается гипотеза , а в действительности верна гипотеза  .

Для любой заданной критической области будем обозначать через    – вероятность ошибки первого рода, а через – вероятность ошибки второго рода. Следовательно, можно сказать, что при большом количестве выборок доля ложных заключений равна , если верна гипотеза , и , если верна гипотеза . При фиксированном объёме выборки выбор критической области W позволяет сделать как угодно малой либо , либо .

Существует несколько критериев согласия для проверки законов распределения случайной величины. Мы остановимся лишь на критерии Пирсона – это наиболее часто употребляемый критерий для проверки закона распределения случайной величины. Сначала нужно разбить всю область изменения случайной величины на интервалов (бин). Затем нужно подсчитать, сколько этих величин попадает в каждый бин, подсчитать эмпирические частоты  . Чтобы вычислить теоретические частоты нужно вероятность попадания в каждый бин р_i умножить на объём выборки .  Таким образом, статистика

является случайной величиной, подчиняющейся закону со  степенями свободы. В последней формуле – число параметров распределения, определяемы по выборке. Для нормального закона – это два параметра, для закона Пуассона – один и т.д. Рассчитав значения и выбрав уровень значимости , по таблице – распределения определяют . Если , то гипотезу  отвергают, если  то гипотезу принимают.

9. Проверка выдвинутой гипотезы о законе распределения исходных данных с доверительной вероятностью 0,95 по критерию Пирсона

Используем для проверки критерий согласия Пирсона (критерий ).

Для того чтобы проверить нулевую гипотезу , необходимо вычислить теоретические частоты и наблюдаемое значение , которое является мерой расхождения данных от теоретического закона:

– теоретическая частота (вероятность) попадания в i-тый интервал.

Далее по статистическим таблицам критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы необходимо найти критическую точку и сравнить ее с наблюдаемым значением.

Число степеней свободы определяется с учетом числа интервалов и числа связей, наложенных на заданное значение:

– число оцениваемых параметров, равное 2.

k – число связей, равное 8.

Найденное значение сравниваем с наблюдаемым значением  :

1. Если нет оснований отвергать гипотезу о распределении выборки по нормальному закону;

2. Если  , гипотеза отвергается.

При этом существует вероятность ошибочного принятия нулевой гипотезы, или ошибочного ее отвержения.

№ – номер интервала;

– нижняя граница интервала;

– верхняя граница интервала;

– середина i-го интервала;

– число значений попавших в i-ый интервала;

– теоретическая вероятность попадания в i-тый интервал;

– нормирующие случайные величины относительно найденного среднего;

– функция Лапласа от нормирующего значения y_i;

№	Хнi	Хвi	Хi	ni	p	p*xi	ni(xi-xcp)2	yi
1	3,47	3,88	3,675	1	0,0208	0,07656	1,68783403	-1,8453
2	3,88	4,29	4,085	6	0,125	0,51063	4,74370417	-1,2468
3	4,29	4,7	4,495	15	0,3125	1,40469	3,44401042	-0,6483
4	4,7	5,11	4,905	9	0,1875	0,91969	0,04305625	-0,0499
5	5,11	5,52	5,315	7	0,1458	0,7751	0,81317153	0,5486
6	5,52	5,93	5,725	5	0,1042	0,59635	2,81875347	1,1471
7	5,93	6,34	6,135	3	0,0625	0,38344	4,04260208	1,7455
8	6,34	6,75	6,545	2	0,0417	0,27271	4,93503472	2,344

№	Ф(yi)			Pi			n*Pi		Хи,набл	Хи2, табл
1	-0,46784			0,07349			3,52752		1,811005	11,0705
2	-0,39435			0,15544			7,46112		0,286133
3	-0,23891			0,218916			10,50797		1,920291
4	-0,019994			0,228834			10,98403		0,358373
5	0,20884			0,16609			7,97232		0,118586
6	0,37493			0,08501			4,08048		0,20721
7	0,45994			0,03042			1,46016		1,623868
8	0,49036			-			-		-
		Dx			σ
4,93917		0,46933681			0,6851
Хи2 – (сумма)			6,325466

=4,93917

=0,685081605

Исходя из того, что:

Гипотеза о том, что представленный закон распределения является нормальным, принимается.