2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?
Вариант 13
1. В городе
каждый
житель имеет одну из трех профессий: А,
В, С. Дети отцов, имеющих профессии А, В,
С, сохраняют профессии отцов с вероятностями
3/5, 2/3, 1/4 соответственно, а если не
сохраняют, то с равными вероятностями
выбирают любую из двух других профессий.
Найти распределение по профессиям в
следующем поколении, если в данном
поколении профессию А имело 20% жителей,
В – 30%, С – 50%. Найти предельное распределение
по профессиям.
2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?
Вариант 14
1. Игра с монетой и игральной костью начинается с бросания монеты. Если исход бросания – Г, то следующим испытанием снова бросается монета. Если исход – Ц, то бросается игральная кость. При четном числе очков на кости в следующем испытании бросается монета, при нечетном – кость. Определяет ли последовательность испытаний марковскую цепь? Построить орграф и матрицу перехода.
Пусть игра начинается случайным образом из одного из четных состояний: Г, Ц, Ч, Н. Какова вероятность того, что через два испытания игра будет находиться в состоянии Г? Найти предельные вероятности.
2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?
Вариант 15
1. Потребление электроэнергии летом тесно связано с температурой воздуха. Поэтому производители электроэнергии должны в принципе учитывать вероятности установления жаркой, умеренной или холодной погоды. Предположим, что прогноз погоды на завтра определяется лишь сегодняшней погодой. После холодной погоды сегодня с равными вероятностями завтра может быть жара, тепло или холод. После сегодняшней жары в половине случаев завтра будет тепло; а в третье части случаев – снова жара. Если сегодня тепло, то завтра с вероятностью 1/2 будет жара, и с вероятностью 1/3 – тепло. Построить орграф и переходную матрицу. Охарактеризовать цепь и ее отдельные состояния.
Какова вероятность того, что в ближайшие два дня сохранится сегодняшняя погода? (Предполагается, что сегодня с равной вероятностью может быть жарко, тепло, холодно). Найти предельные вероятности.
2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?
Вариант 16
1. Социологи
интересуются перемещениями, возникающими
между различными профессиональными
группами населения при переходе от
одного поколения к другому. Приближенно
можно описывать такую мобильность
населения как цепь Маркова с тремя
группами занятости (I, II, III). Вероятность
можно интерпретировать как вероятность
того, что сын человека, работающего в
группе занятости
,
получит работу в группе занятости
.
По переходной матрице
построить орграф данной цепи,
охарактеризовать цепь и ее отдельные
состояния.
Какова вероятность того, что внук человека, работающего в группе III, будет работать в группе I?
Найти предельные вероятности.
2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?
Вариант 17
1. Игрок, имея начальный капитал 2 рубля, покупает билет лотереи по которому с вероятностью 1/5 может выиграть 1 рубль. Он продолжает игру, пока не накопит 4 рубля или не потеряет все свои деньги. Описать эту задачу с помощью цепи Маркова, охарактеризовать ее состояния, построить орграф и матрицу перехода. Существуют ли предельные вероятности. Найти фундаментальную матрицу. Стоимость билета 1 рубль.
2. Исследовать цепь Маркова, заданную матрицей перехода, на регулярность и найти предельные вероятности.
Вариант 18
1. Эскадрилья бомбардировщиков насчитывает четыре самолета. Боевое задание она получает один раз в день. Если к концу дня из-за потерь, нанесенных противником, наличный состав уменьшается до нуля, одного или двух, командир эскадрильи получает один самолет из резерва; этот самолет ему доставляют ночью. Если наличный состав окажется равным трем или четырем самолетам, командир не имеет права на пополнение. На следующий день, если в наличии имеется три или четыре самолета, то задание эскадрилье дается, в противном случае задание отменяется. Во время выполнения задания каждый самолет может быть выведен из строя с вероятностью 0,25. Ввести понятие состояния эскадрильи таким образом, чтобы система образовывала цепь Маркова. Построить матрицу перехода и соответствующий орграф. Исследовать цепь на регулярность. Существуют ли предельные вероятности?