Варианты заданий для лабораторной работы «Цепи Маркова»

Вариант 1

1. Частица на прямой может иметь координаты х=1,2,3,4. Каждую секунду частица может совершать единичные скачки влево или вправо с вероятностями соответственно 0,3 и 0,7. Из положения х=1 частица с вероятностью 0,7 переходит в точку х=2 и с вероятностью 0,3 остается на месте, а из положения х=4 она с вероятностью 0,7 остается на месте, а с вероятностью 0,3 перейдет в положение х=3. Составить матрицу перехода блужданий и орграф. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

.

Вариант 2

1. На окружности расположены точки - вершины правильного четырехугольника. Частица движется из точки в точку следующим образом: из данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью 0,5. Построить матрицу перехода и орграф данной цепи Маркова. Какова вероятность частице оказаться в этой же точке через два шага? Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 3

1. В небольшом городе имеются два универсама – “Дешевый” (Д) и “Ближний” (Б), у каждого из которых сформировался свой круг покупателей. Однако каждую неделю 10% покупателей из Д переходят к Б и 20% покупателей Б меняют его на Д. Выбираем случайным образом одного местного жителя и еженедельно опрашиваем его, в каком из универсамов он производит покупки. Определяет ли последовательность его ответов марковскую цепь? Построить орграф и матрицу переходов. Вычислить вероятность того, что если покупатель был замечен на этой неделе в Д, то он еще будет покупать в Д две недели спустя. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 4

1. У некоторого профессора имеется три излюбленных вопроса, один из которых он задает на каждом экзамене. Он никогда не задает какой-либо из этих вопросов два раза подряд. Если в прошлый раз им был задан вопрос А, то он бросает монету и задает вопрос В, если выпадает герб; если это был вопрос В, то он бросает две монеты и задает вопрос С, если выпадает два герба. Если это был вопрос С, то он бросает три монеты и задает вопрос А, если выпадает три герба. Построить матрицу и орграф данной цепи Маркова. Какой из вопросов профессор задает чаще всего?

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 5

1. Предположим, что мужчин можно разделить по их профессиям на квалифицированных рабочих, неквалифицированных рабочих и служащих. Допустим, что 80% сыновей квалифицированных рабочих становятся квалифицированными рабочими, 10% - служащими и 10% - неквалифицированными рабочими. Далее, из сыновей служащих 60% становятся служащими, 20% - квалифицированными рабочими и 20% - неквалифицированными рабочими. Наконец 50% сыновей неквалифицированных рабочих пусть будут неквалифицированными рабочими и по 25% приходится на долю двух других категорий. Считая, что каждый мужчина имеет только одного сына, найти вероятность того, что внук неквалифицированного рабочего будет квалифицированным рабочим. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 6

1. Пусть - точки числовой прямой, причем точки и являются поглощающими экранами (т.е. частица, попадая в эти точки, остается в них навсегда). Частица движется следующим образом: если в какой-то момент она находится в точке , то в следующий момент она переходит в точку с вероятностью 0,5 или в точку с вероятностью 0,5. Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг и соответствующий ей орграф. Построить матрицу переходов за два шага. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

2. Исследовать цепь на регулярность и найти предельные вероятности, если они существуют.

Вариант 7

1. На окружности расположены точки - вершины правильного шестиугольника. Частица движется из точки в точку следующим образом: из данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью 0,25 и в диаметрально противоположную точку с вероятностью 0,5. Построить матрицу перехода и орграф данной цепи Маркова. Какова вероятность частице оказаться в этой же точке через два шага? Существуют ли предельные вероятности?